Question

За допомогою векторів довести,що MNPK паралелограм,якщо M(-2;-1) N(1;2) P(2;2) K(-1;-1)

Answer 1

У паралелограма протилежні сторони рівні: МР=NК, МN=РК+99
МР²=(-2-2)²+(-1-2)²=16+9=25. МР=√25=5.
NК²=(1+1)²+(2+1)²=4+9=13, NК=√13, МNРК не прямокутник.
МN²=(-2-1)²+(-1-2)²=9+9=18; МN=√18.
РК²=(2+1)²+(2+1)²=9+9=18, РК=√18. МN=РК.
NР²=(1-2)²+(2-2)²=1+0=1; NР=1.
МК²=(-2+1)²+(-1+1)²=1+0=1; МК=1 NР=МК.
МNРК - паралелограм.

Answer 2

Щоб довести, що чотирикутник MNPK є паралелограмом за допомогою векторів, потрібно показати, що вектори, що з'єднують протилежні вершини, мають однаковий напрям і довжину. Якщо це виконується, то чотирикутник MNPK буде паралелограмом.

Вектор можна представити як напрямлений відрізок, з його початком в одній точці (A) і кінцем в іншій точці (B). Для вектора AB позначення відповідно буде AB →.

Таким чином, вектори MN →, NP →, PK → і KM → мають наступні координати:

MN → = N - M = (1 - (-2), 2 - (-1)) = (3, 3) NP → = P - N = (2 - 1, 2 - 2) = (1, 0) PK → = K - P = (-1 - 2, -1 - 2) = (-3, -3) KM → = M - K = (-2 - (-1), -1 - (-1)) = (-1, 0)

Тепер перевіримо, чи мають вони однаковий напрям і довжину.

1. Напрям: Два вектори мають однаковий напрям, якщо один з них можна отримати, масштабуючи інший. Іншими словами, якщо один з векторів можна представити як множину іншого вектора, множеного на константу.

Наприклад, MN → можна отримати, масштабуючи PK → на 1/3: MN → = (1/3) * PK →

Це означає, що вектори MN → і PK → мають однаковий напрям.

2. Довжина: Довжина вектора може бути обчислена за допомогою формули: |AB →| = √(x^2 + y^2), де (x, y) - координати вектора.

Довжини векторів: |MN →| = √(3^2 + 3^2) = √18 |NP →| = √(1^2 + 0^2) = √1 = 1 |PK →| = √((-3)^2 + (-3)^2) = √18 |KM →| = √((-1)^2 + 0^2) = √1 = 1

Отже, довжини векторів MN → і PK →, а також NP → і KM → однакові.

Оскільки вектори MN → і PK → мають однаковий напрям і довжину, а так само вектори NP → і KM → мають однаковий напрям і довжину, то чотирикутник MNPK є паралелограмом.