Question

Дан треугольник АВС с вершинами А (−4; 5), В (1; 5), С (−3; −1). Треугольник А1В1С1 симметричен треугольнику АВС относительно прямой, заданной уравнением у = 1. Найдите координаты вершин А1, В1, С1.

Answer 1

Уже делал кому-то)
На чертеже построен, треугольник АВС, прямая у=1 и треугольник А1В1С1, вершины которого симметричны вершинам АВС относительно прямой у=1, т.е находятся на одинаковом расстояние от данной прямой.

Answer 2

Для нахождения симметричного треугольника относительно прямой, заданной уравнением у = 1, следует выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найти середину каждой стороны треугольника АВС. Шаг 2: Найти уравнение прямой, перпендикулярной данной прямой, проходящей через середины сторон треугольника. Шаг 3: Найти точки пересечения этой перпендикулярной прямой со сторонами треугольника. Эти точки будут вершинами симметричного треугольника.

Давайте выполнять эти шаги:

Шаг 1: Найдем середины сторон треугольника АВС.

Середина стороны AB: x_AB = (x_A + x_B) / 2 = (-4 + 1) / 2 = -3/2 y_AB = (y_A + y_B) / 2 = (5 + 5) / 2 = 5

Середина стороны AC: x_AC = (x_A + x_C) / 2 = (-4 + (-3)) / 2 = -7/2 y_AC = (y_A + y_C) / 2 = (5 + (-1)) / 2 = 2/2 = 1

Середина стороны BC: x_BC = (x_B + x_C) / 2 = (1 + (-3)) / 2 = -2/2 = -1 y_BC = (y_B + y_C) / 2 = (5 + (-1)) / 2 = 4/2 = 2

Шаг 2: Найдем уравнение прямой, перпендикулярной у = 1, проходящей через середины сторон треугольника.

Уравнение прямой, перпендикулярной у = 1, имеет вид: у = -x + b.

Подставим значения середин сторон треугольника и найдем b:

1. Для стороны AB: 5 = (-3/2) + b b = 5 + 3/2 b = 13/2

2. Для стороны AC: 1 = (-7/2) + b b = 1 + 7/2 b = 9/2

3. Для стороны BC: 2 = (-1) + b b = 2 + 1 b = 3

Таким образом, уравнение прямой, перпендикулярной у = 1, проходящей через середины сторон треугольника, имеет вид: у = -x + 13/2 (для стороны AB) у = -x + 9/2 (для стороны AC) у = -x + 3 (для стороны BC)

Шаг 3: Найдем точки пересечения перпендикулярной прямой со сторонами треугольника. Эти точки будут вершинами симметричного треугольника.

1. Для стороны AB: Решим систему уравнений: Система уравнений: { y = -x + 13/2 y = 1

Подставим y из второго уравнения в первое: 1 = -x + 13/2 -x = 1 - 13/2 -x = -11/2 x = 11/2

Теперь найдем y, подставив x во второе уравнение: y = 1

Таким образом, точка пересечения для стороны AB: A1 (11/2, 1).

2. Для стороны AC: Система уравнений: { y = -x + 9/2 y = 1

Подставим y из второго уравнения в первое: 1 = -x + 9/2 -x = 1 - 9/2 -x = -7/2 x = 7/2

Теперь найдем y, подставив x во второе уравнение: y = 1

Таким образом, точка пересечения для стороны AC: C1 (7/2, 1).

3. Для стороны BC: Система уравнений: { y = -x + 3 y = 1

Подставим y из второго уравнения в первое: 1 = -x + 3 -x = 1 - 3 -x = -2 x = 2

Теперь найдем y, подставив x во второе уравнение: y = 1

Таким образом, точка пересечения для стороны BC: B1 (2, 1).

Итак, координаты вершин симметричного треугольника А1В1С1: A1 (11/2, 1), B1 (2, 1), C1 (7/2, 1).