Question

До кола, вписаного в рівнобедрений трикутник abc, проведено дотичні, яка перетинає бічні сторони ac i bc у точках d i e відповідно. Знайдіть периметр трикутника cde, якщо периметр трикутника abc дорівнює 20 см і ab =6 см

Answer 1

AC=AD+CD
BC=BE+CE

ADEB - описанный четырехугольник, суммы противоположных сторон равны.
AD+BE=AB+DE

CD+CE=AC+BC-AD-BE <=>
CD+CE=AC+BC-AB-DE <=>
CD+CE+DE=AC+BC-AB-DE+DE <=>
P(CDE)=AC+BC-AB <=>
P(CDE)=AC+BC+AB-2AB =P(ABC)-2AB =20-2*6=8 (см)

Answer 2

Означимо деякі довжини у трикутнику ABC: AC = BC = x (так як ABC - рівнобедрений трикутник) AB = 6 см (за умовою)

Також, оскільки трикутник ABC - рівнобедрений, то AD = BD (де AD і BD - дотичні до кола та з'єднання точки дотику з вершинами трикутника відповідно).

Позначимо периметр трикутника CDE як P(CDE) і знайдемо його.

1. Знайдемо периметр трикутника ABC: Perimeter(ABC) = AB + AC + BC = 6 см + x + x = 6 см + 2x

2. Знайдемо периметр трикутника CDE: Perimeter(CDE) = CD + CE + DE

Тепер зосередимось на трикутнику ACD: Трикутник ACD також є рівнобедреним, оскільки дотична до кола є перпендикуляром до радіуса, що виходить з точки дотику. Таким чином, AD = CD.

Подивимося на трикутник BCE: Трикутник BCE також є рівнобедреним, оскільки дотична до кола є перпендикуляром до радіуса, що виходить з точки дотику. Таким чином, BE = CE.

Тепер ми можемо визначити периметр трикутника CDE, використовуючи вищезгадані властивості:

Perimeter(CDE) = CD + CE + DE Perimeter(CDE) = AD + BE + DE Perimeter(CDE) = 2 * AD + 2 * BE (оскільки AD = CD і BE = CE)

Таким чином, щоб знайти периметр трикутника CDE, нам потрібно знайти значення AD та BE.

3. Знайдемо AD: Ми можемо знайти AD, застосовуючи теорему Піфагора до прямокутного трикутника ABD:

AB^2 = AD^2 + BD^2 6^2 = AD^2 + AD^2 36 = 2 * AD^2 AD^2 = 18 AD = √18

4. Знайдемо BE: Ми можемо знайти BE, використовуючи теорему Піфагора до прямокутного трикутника BDE:

BE^2 = BD^2 + DE^2 BE^2 = AD^2 + DE^2 (оскільки AD = BD) BE^2 = 18 + DE^2

5. Знайдемо DE: Ми можемо знайти DE, використовуючи зв'язок між півпериметром трикутника ABC та радіусом кола, описаного навколо нього:

Півпериметр(ABC) = (AB + AC + BC) / 2 = (6 см + x + x) / 2 = (6 см + 2x) / 2 = 3 см + x Радіус кола, описаного навколо ABC, позначимо як R. R = (Площа трикутника ABC) / Півпериметр(ABC) R = (√(Півпериметр(ABC) * (Півпериметр(ABC) - AB) * (Півпериметр(ABC) - AC) * (Півпериметр(ABC) - BC))) / Півпериметр(ABC) R = (√((3 см + x) * (3 см + x - 6 см) * (3 см + x - x) * (3 см + x - x))) / (3 см + x) R = (√(x * (x - 3 см) * 3 см * 3 см)) / (3 см + x) R = (√(9x * (x - 3 см))) / (3 см + x) R = (3 см * √(x * (x - 3 см))) / (3 см + x)

Тепер ми можемо використати формулу радіусу кола, щоб знайти довжину DE:

DE = 2 * R DE = 2 * (3 см * √(x * (x - 3 см))) / (3 см + x)

6. Знайдемо BE: Тепер, підставимо знайдене значення DE в попереднє рівняння для BE:

BE^2 = 18 + DE^2 BE^2 = 18 + (2 * (3 см * √(x * (x - 3 см))) / (3 см + x))^2 BE^2 = 18 + (2 * (3 см * √(x * (x - 3 см))) / (3 см + x))^2

Після знаходження AD та BE, ми можемо знайти Perimeter(CDE):

Perimeter(CDE) = 2 * AD + 2 * BE Perimeter(CDE) = 2 * √18 + 2 * √(18 + (2 * (3 см * √(x * (x - 3 см))) / (3 см + x))^2)

Отже, периметр трикутника CDE дорівнює 2 * √18 + 2 * √(18 + (2 * (3 см * √(