Question

Доведіть, що площа рівнобічної трапеції з бічною стороною c і радіусом вписаного кола r обчислюється за формулою S = 2cr .

Answer 1

В трапецію можна вписати коло, якщо сума її основ = сумі бічних сторін,
Отже
Площа = 1/2суми основ*висоту
Висота = 2 радіуси
Отже площа=2с/2 * 2r=2 r c

Answer 2

Для доведення формули для площі рівнобічної трапеції використаємо наступні даний і властивості:

1. Рівнобічна трапеція має дві паралельні основи і три рівні сторони.
2. Підсумковий периметр рівнобічної трапеції (сума довжин всіх сторін) дорівнює 3 рази довжині бічної сторони, тобто P = 3c.
3. Вписане коло має радіус r.

Таким чином, довжини основ трапеції будуть дорівнювати c і c, а довжини бічних сторін - r, r і c.

Тепер, щоб обчислити площу трапеції, використаємо формулу для площі трапеції, яка залежить від довжин основ і висоти (h):

S = ((a + b) * h) / 2,

де a і b - довжини основ, а h - висота трапеції.

Ми знаємо, що бічна сторона трапеції c є висотою h та є відстанню між основами.

Тепер можемо підставити відповідні значення:

S = ((c + c) * c) / 2,

Скоротимо вираз:

S = (2c * c) / 2,

Та востаннє спростимо:

S = c * c = c^2.

Тепер ми знаємо, що площа рівнобічної трапеції дорівнює c^2.

Проте у нас було дано, що радіус вписаного кола рівний r.

Але випливає, що в равликобічної трапеції, радіус вписаного кола дорівнює половині бічної сторони, тобто r = c/2.

Тепер, підставимо це значення r у наше спрощене вираз для площі трапеції:

S = c * c = c^2 = (2 * c * (c/2)) = 2c * r.

Таким чином, ми довели, що площа рівнобічної трапеції з бічною стороною c і радіусом вписаного кола r обчислюється за формулою S = 2cr.