Question

в прямоугольном треугольнике abc с прямым углом c проведена высота ch равна 8 см найдите гипотенузу если один из острых углов равен 45 градусов.

Answer 1

Чертёж и условие во вложении. рассмотрим треугольник АВС. в нём угол В равен 180°-90°-45°=45°(по теореме о сумме углов треугольника). значит, он равнобедренный, AH=HB. рассмотрим треугольник СНВ. в нём угол НСВ равен 180°-90°-45°=45°, он тоже равнобедренный, СН=НВ. значит, АВ=2НВ(или 2АН, или просто АН+НВ)=8+8=16(см)
ответ: 16 см

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами прямоугольных треугольников и треугольников с углом 45 градусов.

Пусть гипотенуза треугольника ABC равна c, а катеты равны a и b (по условию, один из углов равен 45 градусов).

Так как у нас прямоугольный треугольник и проведена высота CH к гипотенузе AB, то у нас имеется два подобных треугольника: ABC и CHB. Из подобия треугольников можно составить следующие пропорции:

1. По катетам: CH / a = a / c CH / a = a / c CH * c = a^2 c = a^2 / CH

2. По гипотенузам: CH / c = c / b CH / c = c / b CH * b = c^2 c = sqrt(CH * b)

Итак, у нас есть два выражения для гипотенузы c. Теперь нужно выразить высоту CH через уже известные величины.

Мы знаем, что площадь прямоугольного треугольника ABC равна (a * b) / 2. А также площадь треугольника ABC равна (c * CH) / 2.

Итак: (a * b) / 2 = (c * CH) / 2 b * a = c * CH CH = b * a / c

Теперь мы можем подставить это выражение для CH в выражение для гипотенузы c:

c = a^2 / CH c = a^2 / (b * a / c) c = (a^2 * c) / (b * a) c = a * c / b

Теперь избавимся от c в знаменателе:

c * b = a * c c * b / c = a b = a

Таким образом, получаем, что катеты a и b равны друг другу. Исходя из условия задачи, у нас есть прямоугольный треугольник с углом 45 градусов, что делает его равнобедренным. Следовательно, a = b.

Используем информацию из условия задачи: один из острых углов равен 45 градусов, что означает, что катеты a и b равны по длине.

Теперь мы можем легко найти гипотенузу c:

c = sqrt(a^2 + b^2) c = sqrt(a^2 + a^2) c = sqrt(2 * a^2) c = sqrt(2) * a

Мы также знаем, что высота CH равна 8 см:

CH = 8 см

Таким образом, высота CH равна sqrt(2) * a = 8 см. Решим уравнение относительно a:

sqrt(2) * a = 8 a = 8 / sqrt(2) a = 8 * sqrt(2) / 2 a = 4 * sqrt(2) см

Теперь найдем гипотенузу:

c = sqrt(2) * a c = sqrt(2) * 4 * sqrt(2) c = 4 * 2 c = 8 см

Таким образом, гипотенуза треугольника ABC равна 8 см.