Question

Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника равна основанию треугольника.Найдите его углы.

Answer 1

Дан ΔABC, AB=BC, AF - биссектриса ∠BAC, AF=AC.

Найти: ∠ABC, ∠BCA, ∠BAC - ?

Решение:

Пусть ∠BAC = 2x.

• В равнобедренном треугольника углы при основании равны.

Тогда ∠BCA = ∠BAC = 2x.

• Биссектриса делит угол на два равных.

Поэтому ∠BAF = ∠CAF = ∠BAC:2 = x.

ΔAFC - равнобедренный т.к. AF=AC.

∠AFC = ∠ACF = 2x, как углы при основании.

• Сумма углов треугольника равна 180°.

В ΔAFC:

∠AFC+∠ACF+∠CAF = 180°;

2x+2x+x = 180°;

5x = 180°;

2x = 180°:5·2 = 72°.

∠BCA = ∠BAC = 2x = 72°;

В ΔABC:

∠ABC+∠BCA+∠BAC = 180°;

∠ABC = 180°-72°-72°;

∠ABC = 36°.

Ответ: 36°, 72° и 72°.

Answer 2

Пусть у нас есть равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC, и биссектриса угла при основании BC (биссектриса угла BAC) равна основанию BC (т.е. BM = BC).

Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании BC равны между собой: ∠B = ∠C. Обозначим эти углы через α.

Также из условия биссектрисы известно, что угол MBT равен углу MBC = α/2.

Теперь рассмотрим треугольник BMC. В нем сумма углов равна 180°:

∠BMC + ∠MBC + ∠MBT = 180°.

Подставим известные значения:

α + α/2 + α/2 = 180°.

Упростим уравнение:

2α + α = 180°, 3α = 180°, α = 180° / 3, α = 60°.

Таким образом, каждый из углов треугольника ABC равен 60°.

Итак, углы треугольника ABC равны: ∠A = ∠B = ∠C = 60°.