Question

Найти расстояние до сторон треугольника от точки пересечения его биссектрис, если периметр равен 36см, а площадь равна 18 см²

Answer 1

1)О–точка пересечения биссектрис.Значит, она равноудалена от сторон треугольника. ОМ =ON=OP. 2)ОМ,ON и ОР –радиусы окружности, вписанной в треугольник АВС.S=pr,r=S/рr=18/18=1

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим стороны треугольника за a, b и c, а точку пересечения биссектрис за I.

Так как I - точка пересечения биссектрис, она делит каждую из биссектрис на две части, которые равны между собой. Таким образом, расстояние от точки I до каждой из сторон треугольника равно половине расстояния между биссектрисами.

Известно, что периметр треугольника равен 36 см, следовательно: a + b + c = 36

Также дана площадь треугольника: Площадь (S) = 18 кв. см

Площадь треугольника можно выразить через стороны и радиус вписанной окружности (r) следующим образом: S = r * p, где p - полупериметр треугольника, равный (a + b + c) / 2.

Теперь найдем радиус вписанной окружности (r). Заметим, что биссектриса треугольника делит его на два треугольника с равными площадями. Поэтому площадь каждого из этих треугольников можно выразить как произведение полупериметра на радиус вписанной окружности и делить на 2:

Площадь первого треугольника = (p * r) / 2, Площадь второго треугольника = (p * r) / 2.

Так как их площади равны и равны площади всего треугольника, то: (p * r) / 2 + (p * r) / 2 = 18, p * r = 18.

Теперь подставим значение площади через полупериметр: (p * r) = (p * (a + b + c)) / 2 = 18.

Теперь можем найти полупериметр p: p = 2 * 18 / (a + b + c) = 36 / (a + b + c).

Теперь, найдя полупериметр, можем найти радиус вписанной окружности r: r = 18 / p = 18 * (a + b + c) / 36.

Таким образом, мы нашли радиус вписанной окружности r. Теперь, чтобы найти расстояние от точки I до каждой из сторон треугольника, нужно разделить радиус r на тангенс половины угла между биссектрисой и соответствующей стороной.

Пусть α, β и γ - половины углов при вершинах треугольника, тогда: тангенс(α) = S / (p * (p - a)), тангенс(β) = S / (p * (p - b)), тангенс(γ) = S / (p * (p - c)).

Теперь можно найти расстояние от точки I до каждой из сторон треугольника:

Расстояние от I до стороны a = r / тангенс(α), Расстояние от I до стороны b = r / тангенс(β), Расстояние от I до стороны c = r / тангенс(γ).

Таким образом, расстояния до сторон треугольника от точки пересечения его биссектрис можно найти, используя вышеприведенные формулы.