Question

Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки длиной 8 см и 17 см. Найдите площадь треугольника.

Answer 1

По теореме о биссектрисе

CB/AB =CD/AD =8/17

По теореме Пифагора

BC:AC:AB =8:15:17

BC =8/15 *AC

S(ABC) =1/2 *AC*BC =1/2 *8/15 *25^2 =500/3 (см^2)

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойство биссектрисы острого угла прямоугольного треугольника. Согласно данному свойству, биссектриса острого угла делит противоположный катет на два отрезка, длины которых пропорциональны прилежащим катетам.

Пусть биссектриса острого угла делит катет длиной 17 см на два отрезка x и y, где x - длина отрезка, прилегающего к катету длиной 8 см, а y - длина отрезка, прилегающего к катету длиной 17 см.

Тогда по свойству биссектрисы имеем:

x/y = 8/17

Теперь найдем площадь треугольника. Пусть a и b - катеты, а c - гипотенуза прямоугольного треугольника.

Мы знаем, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин катетов:

Площадь = (1/2) * a * b

Также у нас есть теорема Пифагора, которая связывает длины катетов и гипотенузы:

a^2 + b^2 = c^2

Мы можем решить систему уравнений для a, b и c. Используем полученное ранее соотношение между x и y:

1. x/y = 8/17

2. a^2 + b^2 = c^2

3. a = x + y

4. b = 17 - x

Теперь подставим значения a и b в уравнение (2):

(x + y)^2 + (17 - x)^2 = c^2

Раскроем скобки:

x^2 + 2xy + y^2 + 289 - 34x + x^2 = c^2

Упростим:

2x^2 + 2xy + y^2 - 34x + 289 = c^2

Теперь найдем значение c^2, подставив значения x и y из уравнения (1):

(2*(8/17)^2) + 2*(8/17)(17/8) + (17/8)^2 - 34(8/17) + 289 = c^2

Вычислим:

c^2 ≈ 10.70588235

Теперь найдем площадь треугольника, используя формулу:

Площадь = (1/2) * a * b

Подставим значения a и b:

Площадь ≈ (1/2) * (8 + 17) * (17 - 8) ≈ 12.5 см^2

Ответ: площадь треугольника примерно 12.5 квадратных сантиметров.