Question

В треугольнике MНK угол K = 37 градусов, угол M = 69 градусов, НP - биссектриса треугольника. Докажите, что НР меньше МР

Answer 1

Угол МНК = 180°-(69°+37°)= 74° т.к. сумма углов в треугольнике равна 180°.
угол МНР = углу РНК = 74°:2 = 37° т.к. НР биссектриса треугольника МНК.
получается НР больше МР т.к. против большего угла лежит большая сторона

Answer 2

Для доказательства того, что НР (отрезок, обозначенный как NP) меньше МР (отрезок, обозначенный как MP) в треугольнике MNK, мы должны воспользоваться известными свойствами углов и биссектрисы.

У нас есть треугольник MNK, в котором известны два угла: угол K равен 37 градусов, и угол M равен 69 градусов. Также сказано, что NP является биссектрисой угла MKN.

Свойство биссектрисы гласит, что она делит противоположную сторону (в данном случае сторону MK) на две части, пропорциональные смежным сторонам (в данном случае сторонам MN и NK).

Давайте обозначим отрезок NP как x и отрезок MP как y.

Тогда, согласно свойству биссектрисы, можно записать:

x / y = NK / MK

Теперь нам нужно найти отношения длин сторон треугольника MNK, используя данные об углах.

Сумма углов треугольника равна 180 градусов:

K + M + N = 180

Заменяя значения углов K и M:

37 + 69 + N = 180

106 + N = 180

N = 180 - 106

N = 74 градуса

Теперь у нас есть все три угла треугольника MNK: K = 37 градусов, M = 69 градусов и N = 74 градуса.

Теперь мы можем найти отношения сторон треугольника MNK, используя тригонометрические соотношения.

1. Для стороны MK:

sin(K) / MK = sin(N) / NK

sin(37) / MK = sin(74) / NK

MK = sin(37) * NK / sin(74)

2. Для стороны MP:

sin(M) / MP = sin(N) / NP

sin(69) / MP = sin(74) / NP

MP = sin(69) * NP / sin(74)

Теперь, чтобы доказать, что NP < MP, нам нужно сравнить NP и MP.

Допустим, что NP ≥ MP:

NP ≥ MP

sin(69) * NP / sin(74) ≥ sin(37) * NK / sin(74)

Отменяем sin(74):

sin(69) * NP ≥ sin(37) * NK

Теперь вспомним свойство биссектрисы: x / y = NK / MK

Подставим NK / MK в предыдущее неравенство:

sin(69) * NP ≥ sin(37) * x / y

y * sin(69) * NP ≥ x * sin(37)

Теперь заметим, что угол M (69 градусов) больше угла K (37 градусов), что означает, что sin(69) > sin(37).

Таким образом, мы можем записать:

y * sin(69) > y * sin(37)

Теперь, если y * sin(69) > y * sin(37), и при этом NP ≥ x, то умножение NP на большее число (sin(69)) должно быть больше, чем умножение x на меньшее число (sin(37)).

Это приводит к противоречию, так как предположение NP ≥ x приводит к тому, что NP больше MP, что противоречит тому, что мы хотим доказать.

Таким образом, предположение NP ≥ MP является неверным, и мы можем заключить, что NP < MP.

Таким образом, доказано, что НР (NP) меньше МР (MP) в треугольнике MNK.