Question

Дан треугольник ABC, где А(-1;2), В(2;7), С(4;3). Найдите: а) длины сторон АВ и ВС; б) длину медианы, проведенной к стороне ВС; в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC.

Answer 1

$1)\; \; AB=(3,5)\; ,\; BC=(2,-4)\\\\|AB|=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}\\\\|BC|=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5\\\\2)\; \; x_{M}=\frac{2+4}{2}=3,\; \; y_{M}=\frac{7+3}{2}=5\\\\AM=(4,3)\\\\|AM|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\\\\3)\; \; x_{N}= \frac{x_{A}+x_{B}}{2}= \frac{2-1}{2}=\frac{1}{2}=0,5\\\\ y_{N}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{2+7}{2}=\frac{9}{2}=4,5\\\\CN:\; \; \frac{x-4}{0,5-4}=\frac{y-3}{4,5-3}\; \; \to \; \; \frac{x-4}{-3,5} = \frac{y-3}{1,5}\; \; \to \\\\1,5(x-4)=-3,5(y-3)\\\\1,5x-6=-3,5y+10,5\; \; \to$

$CN:\; \; 3x+7y-33=0\\\\AM:\; \; \frac{x+1}{4} = \frac{y-2}{3}\; \; \to \; \; 3(x+1)=4(y-2)\; \; \to \\\\3x-4y+11=0 \\\\ \left \{ {{3x-4y=11} \atop {3x+7y=33}} \right. \; ,\; \left \{ {{11y=22} \atop {3x+7y=33}} \right. \; ,\; \left \{ {{y=2} \atop {3x+14=33}} \right. \; ,\; \left \{ {{y=2} \atop {x=\frac{19}{3}}} \right. \\\\tochka\; \; O(\frac{19}{3},2).$