Question

3. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро с плоскостью основания образует угол 45°. Высота пирамиды равна 18 см. Найдите площадь основания пирамиды.

Answer 1

Рассмотрим ΔАОШ
∠ШОА = 90° (высота)
∠ШАО = 45° (по условию)
∠АШО = 180 - 90 - 45 = 45°
И треугольник этот - равнобедренный, ОШ = ОА = 18 см
-----------------
S(ABC) = 3*S(AOC) = 3*1/2*АО*СО*sin(∠AOC) = 3/2*18*18*sin(120°) = 3*9*18*√3/2 = 3*81√3 = 243√3 см²

Answer 2

Давайте обозначим правильную треугольную пирамиду как ABCD, где ABC - равносторонний треугольник, а D - вершина пирамиды. Пусть высота пирамиды, опущенная из вершины D, пересекает основание ABC в точке O.

Так как треугольник ABC равносторонний, угол между его сторонами и плоскостью основания (плоскостью ABC) равен 90°. Также известно, что боковое ребро (например, AD) образует угол 45° с плоскостью основания.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AOD, где AO - это радиус окружности, описанной вокруг основания ABC (поскольку треугольник ABC - равносторонний, радиус описанной окружности будет равен половине длины его стороны), OD - это половина длины стороны основания ABC, и AD - это высота пирамиды.

Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник AOD, в котором угол AOD = 45°, а гипотенуза AO равна половине длины стороны основания ABC. Мы знаем, что AD (высота пирамиды) равна 18 см.

Используем тригонометрию, чтобы найти длину стороны основания ABC (OB):

tan(45°) = AD / AO tan(45°) = 18 / (0.5 * OB) 1 = 18 / (0.5 * OB) 0.5 * OB = 18 OB = 18 / 0.5 OB = 36 см

Теперь, когда мы знаем длину стороны основания ABC, мы можем найти площадь этого равностороннего треугольника.

Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле: Площадь = (сторона^2 * √3) / 4

Подставим значение стороны (36 см): Площадь = (36^2 * √3) / 4 Площадь = (1296 * √3) / 4 Площадь = 324√3 кв.см

Таким образом, площадь основания пирамиды составляет 324√3 квадратных сантиметра.