Question

На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС обозначили соответствующее точки М и К так, что ВМ=ВК. Докажите, что угол ВАК= углу ВСМ.

Answer 1

По условию, AB = BC (ΔABC равнобедренный),
MB = BK (по условию), ⇒ AM = KC.

Рассмотрим треугольники ΔABK и ΔBMC.
∠B - общий.
Так как MB = BK, AM = KC  и AB = AC,
то эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.
--------------------------
Таким образом, углы ∠ВАК = ∠ВСМ.

Answer 2

Для доказательства равенства углов ВАК и ВСМ, давайте рассмотрим треугольники ВМК и ВАК.

У нас есть следующая информация:

1. Треугольник АВС — равнобедренный, что означает, что стороны АВ и ВС равны.

2. Точки М и К на сторонах АВ и ВС соответственно таковы, что ВМ=ВК.

Нам нужно доказать, что угол ВАК равен углу ВСМ.

Рассмотрим два случая:

1. Угол В = Угол С (равнобедренность треугольника АВС): В этом случае треугольник АВС будет равнобедренным и равносторонним, а следовательно, угол ВАК и угол ВСМ уже равны, так как оба равны 0 градусов.

2. Угол В ≠ Угол С: Теперь докажем, что если угол В ≠ Угол С, то угол ВАК равен углу ВСМ.

Для этого рассмотрим отрезки BM и КС:

Поскольку ВМ = ВК и ВА = ВА (отрезок равен самому себе), то треугольник ВМК будет равнобедренным с равными углами при вершине М и К (так как у них равны две стороны, и угол при основании В равен углу при основании В).

Таким образом, угол МВК = углу КВМ (угол при вершине).

Теперь обратим внимание на треугольник АКВ:

В этом треугольнике у нас есть угол ВАК (угол при вершине) и угол КВА (угол при основании).

Но угол ВАК и угол КВМ (из равнобедренного треугольника ВМК) равны, следовательно, угол ВАК = углу КВМ.

Таким же образом, угол КВМ (из равнобедренного треугольника ВМК) равен углу МВК, а угол МВК = углу КВА (из равнобедренного треугольника АКВ).

Таким образом, угол ВАК = углу КВА.

Таким образом, мы доказали, что угол ВАК равен углу КВА, и угол КВА равен углу ВСМ (из равнобедренного треугольника АВС).

Следовательно, угол ВАК равен углу ВСМ, и мы завершили доказательство.