Question

Вычислить интеграл |^4 внизу 0 (x-3√x)dx

Answer 1

Я не совсем понимаю запись "|^4 внизу 0", но интуитивно можно предположить что 4 это верхний предел интеграла
 Тогда решение будет таким:
∫[0;4] (x-3*√x)dx=x²/2-2*x^(3/2) | [0;4]
Подставляем  верхнее значение вместо икса и отнимаем от него нижнее (в нашем случае отнимаем 0) .
Проясним один момент 4^(3/2)=8
Тогда будет:
x²/2-2*x^(3/2) | [0;4]=16/2-2*8=8-16= -8
Ответ : -8

Answer 2

Для вычисления данного интеграла, давайте сначала произведем замену переменной. Обозначим $u = \sqrt{x}$. Тогда $du = \frac{1}{2\sqrt{x}}dx$.

Используя это преобразование, интеграл примет следующий вид:

$\int_0^4 (x - 3\sqrt{x}) dx = \int_0^4 (\sqrt{x} - 3u) 2u du.$

Теперь проведем интегрирование:

$\int (\sqrt{x} - 3u) 2u du = \int (2u^{3/2} - 6u^2) du.$

Проинтегрируем по отдельности каждый из слагаемых:

$\int 2u^{3/2} du = \frac{2}{(3/2)+1}u^{(3/2)+1} + C_1 = \frac{4}{5}u^{5/2} + C_1,$

$\int -6u^2 du = -2u^3 + C_2.$

Здесь $C_1$ и $C_2$ — произвольные константы интегрирования.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$ и подставим пределы интегрирования:

$\int_0^4 (x - 3\sqrt{x}) dx = \left[\frac{4}{5}\sqrt{x}^{5/2} - 2\sqrt{x}^3\right]_0^4 = \left[\frac{4}{5}\cdot4^{5/2} - 2\cdot4^3\right] - \left[\frac{4}{5}\cdot0^{5/2} - 2\cdot0^3\right].$

Так как $0^{5/2} = 0$ и $0^3 = 0$, то первое слагаемое во вторых квадратных скобках равно нулю:

$\int_0^4 (x - 3\sqrt{x}) dx = \frac{4}{5}\cdot4^{5/2} - 2\cdot4^3.$

Осталось вычислить это числовое значение:

$\int_0^4 (x - 3\sqrt{x}) dx = \frac{4}{5}\cdot4^{5/2} - 2\cdot4^3 = \frac{4}{5}\cdot 32 - 2\cdot64 = \frac{128}{5} - 128 = -\frac{512}{5}.$

Итак, окончательный результат:

$\int_0^4 (x - 3\sqrt{x}) dx = -\frac{512}{5}.$