Question

Основним перерізом конуса є рівнобедрений трикутник. Твірна конуса нахилена до цого основи під кутом 30 градусів. Обчисліть радіус основи конуса, якщо його висота лорівнюе 4 корень 3 см.

Answer 1

Катет ОМ лежить проти кута 30°, отже гіпотенуза АМ=2·ОМ=8√3 см.
За теоремою Піфагора ОА²=АМ²-ОМ²=190-48=142.
ОА=√142≈12 см

Answer 2

Для вирішення цієї задачі скористаємося трикутником, утвореним твірною і радіусом основи конуса:

1. Позначимо радіус основи конуса як "r" (що ми хочемо знайти).
2. Висота конуса позначена як "h" і дорівнює 4 кореню з 3 см (h = 4√3).

Зауваження: трикутник, утворений твірною і радіусом, є рівнобедреним трикутником.

3. Також дано, що твірна конуса нахилена до основи під кутом 30 градусів.

Тепер ми можемо скористатися тригонометрією, зокрема, тригонометричними співвідношеннями для рівнобедреного трикутника.

У рівнобедреному трикутнику, де "a" - це основа, "b" - це одна зі сторін, а "h" - висота (в нашому випадку твірна конуса), маємо такі співвідношення:

1. Теорема косинусів: a^2 = b^2 + b^2 - 2 * b * b * cos(30°)
2. Висота (h) дорівнює b * sin(30°)

Так як у нас рівнобедрений трикутник, то "b" - це радіус конуса "r".

Давайте замінимо відповідні значення:

a (основа) = 2 * r (два рази радіус, оскільки це рівнобедрений трикутник) b (одна зі сторін) = r h (висота) = 4 * √3

Тепер, підставимо ці значення в наші тригонометричні співвідношення:

1. Теорема косинусів: (2 * r)^2 = r^2 + r^2 - 2 * r * r * cos(30°)

Спростимо це:

4 * r^2 = 2 * r^2 - 2 * r^2 * cos(30°) 4 * r^2 = 2 * r^2 - r^2 * cos(30°) 4 * r^2 = r^2 * (2 - cos(30°))

Розв'яжемо для r^2:

r^2 = (4 * r^2) / (2 - cos(30°))

2. Висота (h) дорівнює r * sin(30°):

h = r * sin(30°)

Тепер, використовуючи те, що h = 4 * √3, можемо знайти r:

4 * √3 = r * sin(30°)

Тут sin(30°) = 0.5, тому:

4 * √3 = r * 0.5 r = (4 * √3) / 0.5 r = 8 * √3

Таким чином, радіус основи конуса дорівнює 8 кореню з 3 см (або приблизно 13.856 см).