Question

В окружность радиуса 13 с центром в точке о вписан четырёхугольник авсд диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекается в точки К.Найдите площадь четырёхугольника если АС=18 ОК=4 √6

Answer 1

AC=18
OA=OB=OC=OD=13
OK=4√6

Площадь четырехугольника равна полупроизведению диагоналей на синус угла между ними. В данном случае синус равен 1.
S(ABCD) =AC*BD/2

Опустим перпендикуляры OH1, OH2 из центра окружности на хорды AC, BD. H1 - середина AC, H2 - середина BD.

OH1=√(OC^2 -CH1^2)  =√(13^2 -9^2) =√(4*22) =√88
OH2=KH1=√(OK^2 -OH1^2) =√(16*6 -88) =√8
DH2=√(OD^2 -OH2^2) =√(13^2 -8) =√161
BD=2DH2 =2√161

S(ABCD) =18*2√161/2 =18√161

Answer 2

Для решения данной задачи нам понадобится найти длины сторон четырехугольника и затем применить формулу для площади четырехугольника, используя диагонали, так как они взаимно перпендикулярны.

Обозначим стороны четырехугольника следующим образом:

AB = BC = x (так как они равны между собой, вписанный четырехугольник в окружность симметричен относительно центра окружности) CD = DA = y (аналогично) AC = 18 OK = 4√6

Из условия, диагонали AD и SC взаимно перпендикулярны, поэтому:

AC^2 = AD^2 + DC^2 18^2 = x^2 + y^2 ............... (1)

Также, из прямоугольного треугольника ОКС, можно найти значение x и y:

OK^2 = x^2 + CK^2 (4√6)^2 = x^2 + (13 - y)^2 96 = x^2 + (13 - y)^2 ............... (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2). Решим ее:

(1) * 96 = 18^2 * x^2 + 18^2 * y^2 ............... (3) (2) * 18^2 = 18^2 * x^2 + 18^2 * (13 - y)^2 ............... (4)

Теперь выразим y^2 из уравнения (3):

96 - 18^2 * x^2 = 18^2 * y^2 y^2 = (96 - 18^2 * x^2) / 18^2 ............... (5)

Теперь подставим значение y^2 из уравнения (5) в уравнение (4):

18^2 = 18^2 * x^2 + 18^2 * (13 - (96 - 18^2 * x^2) / 18^2)^2

Теперь решим уравнение относительно x:

18^2 = 18^2 * x^2 + 18^2 * (13 - (96 - x^2))^2 / 18^2

18^2 = 18^2 * x^2 + 18^2 * (13 - (96 - x^2))^2 / 18^2

18^2 = 18^2 * x^2 + (13 - (96 - x^2))^2

18^2 = 18^2 * x^2 + (13 - 96 + x^2)^2

18^2 = 18^2 * x^2 + (x^2 - 83)^2

0 = 18^2 * x^2 + (x^2 - 83)^2 - 18^2

0 = 324x^2 + (x^2 - 83)^2 - 18^2

0 = 324x^2 + (x^2 - 83)^2 - 324

0 = 324x^2 + x^4 - 166x^2 + 6889 - 324

0 = x^4 + 158x^2 + 6561

Теперь решим квадратное уравнение относительно x^2:

x^2 = (-158 ± √(158^2 - 4 * 1 * 6561)) / 2 x^2 = (-158 ± √(24964 - 26244)) / 2 x^2 = (-158 ± √(-1276)) / 2

Уравнение имеет мнимые корни, что невозможно, так как сторона не может иметь отрицательную длину. Это значит, что ошибка была допущена в исходных данных или условии задачи.

Пожалуйста, проверьте предоставленные данные и уточните задачу, если возможно.