Question

Даны вершины треугольника А(4;8),В(2;10),С(-1;-2).Найдите косинус угла А

Answer 1

AB = (2-4,10-8) = (-2,2)
|AB| = sqrt (4^2+8^2) = sqrt (80)
AC = (-1-4,-2-8) = (-5,-10)
|AC| = sqrt((-5)^2+(-10)^2) = sqrt(125)
cos A =
$\frac{ab \times ac}{ |ab| |ac| } = \frac{10 - 20}{4 \sqrt{5} \times 5 \sqrt{5} } = \frac{ - 10}{100} = \frac{ - 1}{10}$

Answer 2

Для того чтобы найти косинус угла А треугольника ABC, мы должны использовать формулу косинусов, которая гласит:

$\cos A = \frac{{b^2 + c^2 - a^2}}{{2bc}}$

где a, b и c - длины сторон треугольника противолежащие углам A, B и C соответственно.

Для треугольника ABC стороны a, b и c соответствуют длинам отрезков BC, AC и AB соответственно.

Чтобы найти длины сторон треугольника, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

$d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}$

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты двух точек.

Итак, найдем длины сторон треугольника:

AB: $AB = \sqrt{{(2 - 4)^2 + (10 - 8)^2}} = \sqrt{{(-2)^2 + 2^2}} = \sqrt{{4 + 4}} = \sqrt{{8}} = 2\sqrt{{2}}$

BC: $BC = \sqrt{{(-1 - 2)^2 + (-2 - 10)^2}} = \sqrt{{(-3)^2 + (-12)^2}} = \sqrt{{9 + 144}} = \sqrt{{153}}$

AC: $AC = \sqrt{{(-1 - 4)^2 + (-2 - 8)^2}} = \sqrt{{(-5)^2 + (-10)^2}} = \sqrt{{25 + 100}} = \sqrt{{125}} = 5\sqrt{{5}}$

Теперь мы можем найти косинус угла A:

$\cos A = \frac{{BC^2 + AC^2 - AB^2}}{{2 \cdot BC \cdot AC}}$ $\cos A = \frac{{(\sqrt{{153}})^2 + (5\sqrt{{5}})^2 - (2\sqrt{{2}})^2}}{{2 \cdot \sqrt{{153}} \cdot 5\sqrt{{5}}}}$ $\cos A = \frac{{153 + 125 - 8}}{{10\sqrt{{153}}}}$ $\cos A = \frac{{270}}{{10\sqrt{{153}}}}$ $\cos A = \frac{{27}}{{\sqrt{{153}}}}$