Question

В правильной треугольной пирамиде полная поверхность равна 16√3, а площадь основания 4√3. Найдите боковое ребро, объём, Sбок.поверхности.

Answer 1

Площадь всей поверхности= 16√3
Площадь основания=4√3         
           Sоснования =a²√3/4,   а- длина ребра основания  
           а²√3/4=4√3  ---->  a=4 -  ребро основания
Площадь боковой поверхности=16√3-4√3=12√3  
       S бок =Роснования*h/2   (h- анофема или высота боковой грани)
       Роснования=3*а=3*4=12
       12√3=12*h/2   ------>   h=2√3   -  высота боковой грани
Так как боковые грани равны между собой и  есть равнобедренные  треугольники,  то h - и высота  и медиана
Пусть b - боковое ребро, тогда по теореме Пифагора:
b=√(h²+(a/2)²)=√(4*3+4)=√16 =4  - боковое ребро
V=Sоснования*H/3    H - высота пирамиды    
R=a/√3 - радиус описанной окружности  основания ( равностороннего треугольника)   R=4/√3
H=√(b²-R²)=√(16-16/3)=4√(1-1/3)=4√2 / √3
V=4√3 *4√2 /√3=16√2

ответ   боковое ребро=4
            объём=16√3
            Sбок =12√3

Answer 2

Для начала, определим неизвестные величины:

Пусть a - длина бокового ребра (одинаковая для всех боковых граней) в правильной треугольной пирамиде.

Тогда известно:

1. Площадь основания (Sосн) = 4√3
2. Полная поверхность пирамиды (Sполн) = 16√3

Площадь боковой поверхности (Sбок) можно найти, зная площадь основания и полную поверхность:

Sбок = Sполн - Sосн

Теперь найдем объем пирамиды (V):

V = (Sосн * h) / 3,

где h - высота пирамиды.

Известно, что высота пирамиды ищется по формуле:

h = √(a^2 - (b/2)^2),

где b - сторона основания пирамиды (равная стороне равностороннего треугольника).

Найдем b:

b = √(4 * Sосн / √3) = √(4 * 4√3 / √3) = √(16) = 4.

Теперь найдем высоту h:

h = √(a^2 - 2^2).

Мы также знаем, что площадь основания (Sосн) равна:

Sосн = (b * a) / 2.

Теперь подставим значение b:

4√3 = (4 * a) / 2.

Решим уравнение относительно a:

4√3 = 2a.

a = (4√3) / 2 = 2√3.

Теперь можем найти высоту h:

h = √((2√3)^2 - 2^2) = √(12 - 4) = √8 = 2√2.

Теперь, найдем боковую площадь (Sбок):

Sбок = Sполн - Sосн = 16√3 - 4√3 = 12√3.

И, наконец, найдем объем пирамиды (V):

V = (Sосн * h) / 3 = (4√3 * 2√2) / 3 = (8√6) / 3.

Итак, ответ:

• Длина бокового ребра a = 2√3.
• Площадь боковой поверхности Sбок = 12√3.
• Объем пирамиды V = (8√6) / 3.