Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х(4-х) и осью абсцисс.

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = x(4-x) и осью абсцисс, нужно найти интеграл функции y = x(4-x) от точки пересечения с осью абсцисс до точки пересечения с графиком функции. Так как функция у = x(4-x) является параболой, она пересекает ось абсцисс в точках x = 0 и x = 4.

1. Найдем точки пересечения с осью абсцисс: y = x(4-x) = 0 Это уравнение имеет два решения: x = 0 и x = 4

2. Теперь найдем интеграл функции y = x(4-x) от x = 0 до x = 4: S = ∫[0 to 4] (x(4-x)) dx

Вычислим интеграл: S = ∫(4x - x^2) dx

Вычислим интеграл каждого слагаемого по отдельности: ∫(4x) dx = 2x^2 ∫(x^2) dx = (1/3)x^3

Теперь вычислим определенный интеграл от 0 до 4: S = [2x^2 - (1/3)x^3] from 0 to 4 S = [2(4)^2 - (1/3)(4)^3] - [2(0)^2 - (1/3)(0)^3] S = [2(16) - (1/3)(64)] - [0 - 0] S = [32 - 64/3] - 0 S = (96/3 - 64/3) S = 32/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = x(4-x) и осью абсцисс, равна 32/3 или приближенно 10.67 квадратных единиц.