Question

Згайти кут між діагоналями чотирикутника ABCD якщо A(-2.3.5) B(0.-1.6) C(2.-3.4) D(1.0.-2)

Answer 1

AC = (2-(-2), -3-3, 4-5) = (5,-6,-1)
AC^2 = 25+36+1 = 62
AC = sqrt(62)

BD = (1-0, 0-(-1), -2-6) = (1,1,-8)
BD^2 = 1+1+64 = 66
BD = sqrt (66)

cos a =
$\frac{ (5. - 6. - 1) \times (1.1 . - 8) }{ \sqrt{62} \sqrt{66} } = \frac{5 - 6 + 8}{ \sqrt{62} \sqrt{66} } = \frac{7}{ \sqrt{62} \sqrt{66} }$

Answer 2

Для того, щоб знайти кут між діагоналями чотирикутника ABCD, спочатку потрібно знайти вектори, які представляють ці діагоналі, а потім знайти кут між ними.

Для діагоналі AC (вектор AC): AC = C - A = (2, -3, 4) - (-2, 3, 5) = (2 + 2, -3 - 3, 4 - 5) = (4, -6, -1).

Для діагоналі BD (вектор BD): BD = D - B = (1, 0, -2) - (0, -1, 6) = (1 - 0, 0 + 1, -2 - 6) = (1, 1, -8).

Тепер, для того, щоб знайти кут між двома векторами, можна скористатися формулою скалярного добутку:

cos(θ) = (AC • BD) / (|AC| * |BD|),

де AC • BD - скалярний добуток векторів AC і BD, |AC| - довжина вектору AC, |BD| - довжина вектору BD.

Скалярний добуток двох векторів визначається як сума добутків їх компонент:

AC • BD = 4 * 1 + (-6) * 1 + (-1) * (-8) = 4 - 6 + 8 = 6.

Довжина вектору обчислюється за формулою:

|AC| = √(x^2 + y^2 + z^2),

де x, y і z - компоненти вектору AC: |AC| = √(4^2 + (-6)^2 + (-1)^2) = √(16 + 36 + 1) = √53 ≈ 7.28,

|BD| = √(1^2 + 1^2 + (-8)^2) = √(1 + 1 + 64) = √66 ≈ 8.12.

Тепер можемо обчислити кут між діагоналями:

cos(θ) = (AC • BD) / (|AC| * |BD|) = 6 / (7.28 * 8.12) ≈ 0.0975.

Тепер знаходимо кут θ:

θ ≈ arccos(0.0975) ≈ 84.52 градусів.

Отже, кут між діагоналями чотирикутника ABCD приблизно дорівнює 84.52 градусів.