Question

В четырехугольнике ABCD внешний угол при вершине А равен углу BCD, AD=CD. Докажите, что BD — биссектриса

Answer 1

На луче BA отложим отрезок AE равный BC.

AE=BC, ∠EAD=∠BCD, AD=CD

△EAD=△BCD (по двум сторонам и углу между ними), ∠AED=∠CBD, ED=BD

△BDE - равнобедренный, ∠AED=∠ABD

∠ABD=∠CBD, BD- биссектриса ∠ABC

Answer 2

Пусть внешний угол при вершине A равен α. Тогда угол BCD = α, а угол BAD равен 180°-α. Заметим, что сумма противоположных углов равна 180°-α+α = 180°; Значит данный четырехугольник можно вписать в окружность. Пусть ее радиус равен R; По теореме синусов: $AD=2R\sin \angle ABD$ и $CD = 2R\sin \angle DBC$, поскольку AD = CD, то углы ABD и DBC равны, а значит, BD - биссектриса

Answer 3

Для доказательства того, что отрезок BD является биссектрисой угла ABCD, нам нужно показать, что угол ABD равен углу CBD.

По условию, внешний угол при вершине A равен углу BCD. Это означает, что угол ABC равен углу BCD.

Также, нам дано, что AD = CD, что означает, что треугольник ACD является равнобедренным, потому что две его стороны, AD и CD, равны.

Теперь рассмотрим треугольник ABD. Мы знаем, что угол ABC равен углу ABD (по условию) и угол ACD равен углу CBD (так как треугольник ACD равнобедренный). Кроме того, угол ACD равен углу BCD (по условию).

Теперь у нас есть два равных угла у треугольника ABD: угол ABC и угол ABD. А также у нас два равных угла у треугольника CBD: угол ACD и угол CBD.

Из этого следует, что у треугольников ABD и CBD совпадают два угла, а значит, третий угол у этих треугольников также будет равен. Таким образом, угол ABD равен углу CBD.

Поскольку угол ABD равен углу CBD, отрезок BD является биссектрисой угла ABCD, что и требовалось доказать.