Question

Два кола з центрами О, і 02, радіуси яких дорівнюють 10 см і 16 см відповідно, мають зовнішній дотик у точці С. Пряма, що проходить через точку С, перетинає коло з центром О, у точці А, а інше - в точці В. Знайдіть довжини хорд АС і ВС, якщо АВ=39 см.

Answer 1

ΔAOC ~ ΔBO₁C, поскольку

∠АСО = ∠ВСО₁ как вертикальные

∠ОАС = ∠О₁ВС - поскольку ΔAOC и ΔBO₁C равнобедренные, а ∠ при основании равнобедренных Δ равны меж собой

Коэффициент подобия Δ

k = 10/16 = 5/8

k = AC/BC

AC = k*BC

-----------

AC + BC = 39

k*BC + BC = 39

5/8*BC + BC = 39

13/8*BC = 39

BC = 3*8 = 24 см

АС = 39 - 24 = 15 см

Answer 2

Давайте спочатку з'ясуємо, які відстані існують між центрами кол і точкою дотику С.

За умовою, ми знаємо, що кола з центрами O1 і O2 мають радіуси 10 см і 16 см відповідно. Вони мають зовнішній дотик у точці С.

Знайдемо відстань між центрами кол. Позначимо цю відстань як d.

Малюнок: O1 -------- C -------- O2 \ | / \ | d / \ | / \ | / \ | / \ | / \ | / |/ * A | | | | * B

Відстань між центрами кола можна знайти за допомогою теореми Піфагора, оскільки ми маємо прямокутний трикутник зі сторонами, рівними сумі радіусів кол і відстані між їх центрами:

d^2 = (10 см + 16 см)^2 d^2 = 26 см^2 d = √(26) см ≈ 5.1 см (приблизно).

Тепер знайдемо довжини хорд АС і ВС, використовуючи відстань між центрами та довжину АВ.

Малюнок: O1 -------- C -------- O2 \ | / \ | d / \ | / \ | / \ | / \ | / \ | / |/ * A (AB = 39 см) | | | | * B

Для знаходження довжин хорд АС і ВС, нам потрібно розділити АВ напів, оскільки пряма, що проходить через С і перпендикулярна до АВ, буде проходити через центр кола O1 (за умовою завдання).

Малюнок: O1 -------- C -------- O2 \ | / \ | d / \ | / \ | / \ | / \ | / \ | / |/ * A--C--B (AB = 39 см) | | | | * B

Отже, можемо побачити, що АС і ВС є хордами, які проходять через середину АВ, і вони будуть ділити АВ на рівні частини.

Значить, АС = ВС = AB / 2 = 39 см / 2 = 19.5 см.

Таким чином, довжини хорд АС і ВС дорівнюють 19.5 см кожна.