Question

Знайдіть суму квадратів синусів усіх кутів прямокутного трикутника

Answer 1

Три угла,

∠А и ∠В острые

∠В = 90° - ∠А

sin(∠В) = sin(90° - ∠А) = cos(∠А)

∠С - прямой

sin(∠С) = sin(90°) = 1 - тут проще всего

---

sin²(∠A) + sin²(∠B) + sin²(∠C) = sin²(∠A) + cos²(∠A) + 1 = 1 + 1 = 2

Answer 2

Добре, щоб знайти суму квадратів синусів усіх кутів прямокутного трикутника, спочатку нам потрібно знайти значення синусів кожного з його кутів.

Припустимо, що в нашому прямокутному трикутнику кут прямий (90 градусів), а інші два кути позначимо як A та B.

У прямокутному трикутнику синус кута обчислюється як співвідношення протилежного катету до гіпотенузи:

$\sin(A) = \frac{\text{протилежний катет}}{\text{гіпотенуза}}$

$\sin(B) = \frac{\text{протилежний катет}}{\text{гіпотенуза}}$

Оскільки сума кутів в прямокутному трикутнику дорівнює 180 градусам (90 градусів + A + B = 180 градусів), ми можемо знайти величину кута A:

$A = 180° - 90° - B$

Тепер, щоб знайти синуси кутів A та B, нам знадобиться прямокутний трикутник з відомими довжинами сторін.

Припустимо, що гіпотенуза має довжину 1 (це може бути будь-яка одиниця вимірювання довжини, так як масштаби взаємно знищуються). Для зручності обчислень можемо також припустити, що протилежний катет до кута A має довжину sin(B), а протилежний катет до кута B має довжину sin(A).

Таким чином:

$\sin(A) = \frac{\text{sin(B)}}{\text{гіпотенуза}} = \text{sin(B)}$

$\sin(B) = \frac{\text{sin(A)}}{\text{гіпотенуза}} = \text{sin(A)}$

Тепер ми можемо обчислити квадрати синусів кожного з кутів:

$\sin^2(A) = (\sin(A))^2 = (\text{sin(B)})^2$

$\sin^2(B) = (\sin(B))^2 = (\text{sin(A)})^2$

І, нарешті, знайдемо суму квадратів синусів кутів прямокутного трикутника:

$\text{сума} = \sin^2(A) + \sin^2(B) = (\text{sin(B)})^2 + (\text{sin(A)})^2$

Оскільки у нас немає конкретних значень для кутів A та B, ми не можемо обчислити їх точні значення. Але ми можемо використати ці загальні формули, які ми отримали, для обчислення суми квадратів синусів, якщо відомі значення кутів A та B.