Question

9) Площадь ромба S. Найдите площадь четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон ромба.

Answer 1

площадь ромба:

$S=\frac{1}{2}*d_{1} *d_{2}$

d₁, d₂ - диагонали ромба

d₁ _|_ d₂

отрезки, соединяющие середины сторон ромба || диагоналям ромба, => полученный четырехугольник - прямоугольник.

S=a*b

a || d₁, b || d₂

a, b - средние линии треугольников, на которые диагонали "разбивают" ромб. =>

a=d₁/2, b=d₂/2

площадь прямоугольника:

$S=(\frac{1}{2}d_{1}) *(\frac{1}{2}d_{2}) =\frac{1}{2}*(\frac{1}{2}*d_{1}*d_{2}) =\frac{1}{2}*S_{romba}$

ответ: S прямоугольника = S/2

Answer 2

Для решения этой задачи нужно знать формулу для площади четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон ромба. Для начала, обозначим сторону ромба как "a".

1. Найдем длину диагонали ромба: Диагонали ромба делят его на 4 равных треугольника. Каждый из этих треугольников - это прямоугольный треугольник с катетами "a/2" (половина стороны ромба). Зная длину катетов, можем применить теорему Пифагора:

Длина диагонали ромба (d) = sqrt((a/2)^2 + (a/2)^2) = sqrt(a^2/4 + a^2/4) = sqrt(2a^2/4) = sqrt(a^2/2) = a * sqrt(2)

2. Теперь, чтобы найти площадь четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон ромба, нужно разбить его на 4 треугольника. Каждый из этих треугольников - это прямоугольный треугольник с катетами "a/2" и "d/2" (половина диагонали ромба).

Площадь каждого треугольника = (1/2) * (a/2) * (d/2) = (a * d) / 8

3. Так как четыре таких треугольника составляют четырёхугольник, его площадь будет равна:

Площадь четырёхугольника = 4 * (a * d) / 8 = (a * d) / 2

Подставим значение d:

Площадь четырёхугольника = (a * a * sqrt(2)) / 2 = (a^2 * sqrt(2)) / 2

Итак, площадь четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон ромба, равна (a^2 * sqrt(2)) / 2.