Question

в трапеции abcd bc = 8, cd = 10, ac = 16. найдите остальные стороны и площадь трапеции, если ac – биссектриса ее угла

Answer 1

АС может быть биссектрисой только угла С.

В этом случае треугольник АDC равнобедренный , AD = CD = 10 см.

Угол D находим по теореме косинусов.

cos D = (10² + 10² - 16²)/(2*10*10) = (100 + 100 - 256)/200 = -56/200 = -7/25 = = -0,28.

∠D = arc cos(-0,28) = 106,2602°.

∠C = 180° - ∠D = 180° - 106,2602° = 73,7398°.

Половина угла С равна 73,7398/2 = 36,8699°.

cos (∠C/2) = 0,8.

Сторону АВ найдём по теореме косинусов.

АВ = √(8² + 16² -2*8*16*0,8) = √115,2 ≈ 10,73313.

Угол В тоже по теореме косинусов:

cos B = (64+115,2-256)/(2*8*√115,2) = -76,8 / 193,1962733 = -0,397523196 ∠B = arc cos(-0,397523196) = 1,979612347 радиан = 113,42343°.

∠А = 180° - 113,42343° = 66,57657°.

Answer 2

Чтобы найти остальные стороны трапеции и её площадь, начнём с изучения свойств биссектрисы угла трапеции.

В данном случае, AC является биссектрисой угла трапеции ABCD. Зная это, мы можем использовать свойства биссектрисы для нахождения других сторон трапеции.

Свойство биссектрисы угла гласит: Если биссектриса угла делит противолежащую сторону на две отрезка, то их длины пропорциональны длинам двух других сторон угла.

Пусть BD - это отрезок, на который биссектриса AC делит сторону ABCD, а точка E - это точка деления BC на биссектрисе AC, так что AE = CE.

Теперь можем составить пропорцию:

AB / AD = BC / CD

AB / (AB + AD) = 8 / 10

Теперь заменим AD через AC и CD:

AB / (AB + 16) = 8 / 10

Теперь решим пропорцию:

10AB = 8(AB + 16)

10AB = 8AB + 128

2AB = 128

AB = 128 / 2

AB = 64

Теперь можем найти AD:

AD = AC - CD

AD = 16 - 10

AD = 6

Теперь, чтобы найти оставшиеся стороны трапеции, воспользуемся свойствами трапеции.

AD = 6 (мы только что нашли)

AB = 64 (мы только что нашли)

BC = 8 (дано)

CD = 10 (дано)

Теперь, чтобы найти площадь трапеции, воспользуемся формулой:

Площадь трапеции = (сумма оснований * высота) / 2

Высота трапеции может быть найдена из прямоугольного треугольника ADE (ADE - прямоугольный треугольник, так как AE = CE).

ADE - прямоугольный треугольник:

AD = 6 (мы только что нашли)

AE = CE (свойство биссектрисы)

AC = 16 (дано)

Используем теорему Пифагора:

AE^2 + DE^2 = AD^2

AE^2 + (AC - CE)^2 = AD^2

AE^2 + (16 - AE)^2 = 6^2

AE^2 + 256 - 32AE + AE^2 = 36

2AE^2 - 32AE + 220 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

AE = (32 ± √(32^2 - 4 * 2 * 220)) / (2 * 2)

AE = (32 ± √(1024 - 1760)) / 4

AE = (32 ± √(-736)) / 4

Так как у нас появился отрицательный аргумент под корнем, то у уравнения нет решений в действительных числах. Это означает, что трапеция с такими заданными размерами не существует.

Площадь трапеции невозможно рассчитать, так как трапеция с такими сторонами не существует.