Question

В равнобокую трапецию,одно из оснований которой равно 8, вписана окружность радиуса 6. Найдите площадь трапеции

Answer 1

По условию

ВД = 8, КД = ВД/2 = 4

ИК = ИЕ = 6

--- 1 ---

ΔГКД ~ ΔГЕИ, т.к. угол Г общий и углы К и Е - прямые

Из подобия треугольников

ГД/ГК = ГИ/ГЕ

x/y = (y+6)/(x+4)

x² + 4x = y² + 6y

--- 2 ---

по т. Пифагора для ΔГКД

ГД² = ГК² + КД²

x² = y² + 4²

--- 3 ---

Решаем совместно уравнения из 1 и 2

Вычтем из второго первое

4² + 4x = 6y

x = 3/2*y - 4

Подставим выражение для х во второе

(3/2*y - 4)² = y² + 16

9/4 *y² - 2*3/2*4*y + 16 = y² + 16

5/4*y² - 12y = 0

5y² - 48y = 0

y(5y - 48) = 0

Плохое решение y=0 отбросим

Хорошее решение

y = 48/5

x = 3/2*y - 4 = 3/2*48/5 - 4 = 72/5 - 4 = 52/5

--- 4 ---

ΔГКД ~ ΔГЖЗ

ЖЗ/КД = ГЗ/ГК

z/4 = (y + 6 + 6)/y

z = 4*(y + 12)/y = 4*(48/5 + 12)/(48/5) = 5/12*(48/5 + 12) = 4 + 5 = 9

Нижнее основание трапеции

2z = 2*9 = 18

--- 5 ---

Площадь - половина произведения суммы основания на высоту

S = 1/2*(8 + 18)*12 = 6*26 = 156

Answer 2

Чтобы найти площадь равнобокой трапеции, для начала нужно найти высоту этой трапеции.

Пусть высота трапеции равна "h".

Так как окружность вписана в трапецию, то отрезок, соединяющий центр окружности с точкой касания окружности с одним из оснований трапеции, будет перпендикулярным к основаниям. Таким образом, этот отрезок (высота трапеции) будет также являться медианой трапеции.

Пусть "x" - это половина длины основания трапеции (так как равнобокая трапеция имеет симметричные основания).

Теперь, используем теорему Пифагора для нахождения "h":

x^2 + 6^2 = (2x)^2 x^2 + 36 = 4x^2 3x^2 = 36 x^2 = 12 x = √12 ≈ 3.464

Таким образом, одна из сторон трапеции равна 2x ≈ 2 * 3.464 ≈ 6.928.

Теперь, зная длины оснований и высоту, можно найти площадь трапеции:

Площадь = (сумма оснований * высота) / 2 Площадь = (8 + 6.928) * h / 2 Площадь = 14.928 * h / 2 Площадь = 7.464 * h

Теперь остается найти высоту "h". Для этого воспользуемся свойством прямоугольного треугольника, образованного радиусом окружности, половиной одного из оснований и высотой трапеции:

6^2 = (√12)^2 + h^2 36 = 12 + h^2 h^2 = 36 - 12 h^2 = 24 h = √24 ≈ 4.899

Теперь, подставляя "h" в формулу площади:

Площадь ≈ 7.464 * 4.899 ≈ 36.59

Таким образом, площадь равнобокой трапеции составляет приблизительно 36.59 квадратных единиц.