Question

на медіані ВМ трикутника АВС позначено точку О так що угол ОАС дорівнює углу ОСА. доведіть що трикутник АВС рівнобедрений

Answer 1

Оскільки ∠ОАС = ∠ОСА, то ΔАОС рівнобедрений (АО = ОС). М - середина АС, звідси ОМ - медіана, висота і бісектриса ΔАОС. ОМ∈ВМ, тому ВМ - медіана, бісектриса і висота ΔАВС, а це можливо тільки тоді, коли ΔАВС рівнобедрений.

Answer 2

Для доведення того, що трикутник АВС є рівнобедреним, нам потрібно показати, що довжини двох сторін трикутника однакові. Для цього розглянемо дану ситуацію.

Позначимо медіану, що проходить через точку О і перетинає сторону АВ в точці М. Оскільки медіана ВМ є медіаною трикутника АВС, вона ділить сторону С на дві рівні частини (половину довжини СМ та половину довжини МС):

Copy code
 С
/ \

М----О /
А--------В

Ми знаємо, що угол ОАС дорівнює углу ОСА. Отже, трикутники ОАС та ОСА є рівними за двома катетами (сторонами, що прилегли до гострого кута):

С |
| \ θ |
|_____\ О |
А----------В

(Де θ - кут між сторонами ОА та ОС)

Тепер ми можемо порівняти дві частини сторони С, які утворюються медіаною ВМ:

СМ = МС

А тепер розглянемо медіани АО і ОВ:

А |
| \ θ |
|_____\ О |
С--------В

Так само, трикутники АОВ та ОВА є рівними за двома катетами:

АО = ОВ

Тепер ми маємо доведені дві рівності:

1. СМ = МС
2. АО = ОВ

Це означає, що трикутник АВС має дві однакові сторони, тобто він є рівнобедреним.