Question

В треугольнике ABC проведены медианы AE и BD. Найдите периметр треугольника ABC, если периметр треугольника DCE равен p.

Answer 1

Пусть СЕ = у = ВЕ; CD = x = AD; ED = z.
Треугольники АВС и DEC подобны, значит:
ED/AB = CE/BC = x/(x + x) = 1/2
Следовательно: AB = 2ED = 2z
Периметр треугольника DEC:
x + y + z = p
Периметр треугольника АВС:
2х + 2у + 2z = 2(x + y + z) = 2p
Ответ: периметр треугольника АВС = 2р

Answer 2

Давайте обозначим стороны треугольника ABC через a, b и c, а также стороны треугольника DCE через d, e и f.

Так как DCE - треугольник, а D - точка пересечения медиан треугольника ABC, то известно, что точка D делит каждую медиану в соотношении 2:1. Это значит, что отрезок DE является двумя третями отрезка EA, а отрезок DF - двумя третями отрезка DB.

Теперь мы можем выразить отрезки EA и DB через стороны треугольника ABC:

EA = (2/3) * DE DB = (2/3) * DF

Мы также знаем, что периметр треугольника DCE равен p:

p = d + e + f

Теперь давайте найдем периметр треугольника ABC:

Периметр ABC = a + b + c

Мы знаем, что медиана AE делит сторону BC пополам, поэтому с учетом того, что DB является двумя третями отрезка BD, получаем:

c = (3/2) * DB

Теперь осталось найти a и b.

Сначала найдем стороны треугольника DCE через стороны ABC:

d = (2/3) * a e = (2/3) * b

Теперь можем выразить a и b через стороны треугольника DCE:

a = (3/2) * d b = (3/2) * e

Теперь, чтобы найти периметр ABC, сложим все стороны:

Периметр ABC = a + b + c Периметр ABC = (3/2) * d + (3/2) * e + (3/2) * DB

Теперь заменим DB на c/((3/2)):

Периметр ABC = (3/2) * d + (3/2) * e + c/((3/2))

Теперь можем подставить значение периметра треугольника DCE:

Периметр ABC = (3/2) * d + (3/2) * e + p/((3/2))

Общий периметр ABC равен:

Периметр ABC = (3/2) * (d + e) + p/((3/2))

Мы также знаем, что d + e равно половине периметра треугольника DCE:

Периметр ABC = (3/2) * (p/2) + p/((3/2))

Теперь упростим:

Периметр ABC = (3/4) * p + 2p/3

Общий периметр треугольника ABC:

Периметр ABC = (9p + 8p)/(12) Периметр ABC = 17p/12

Таким образом, периметр треугольника ABC равен 17p/12.