Question

В равнобедренном треугольнике H - длина высоты, опущенной на основание, а h - длина высоты, опущенной на одну из боковых (равных) сторон. Найдите все возможные значения отношения h/H.

Answer 1

ну, все  возможные значения при ТАКОМ условии найти невозможно, т.к. их будет бесконечное множество, но выяснить границы- это да.

Итак, рассмотрим самый первый случай, что приходит на ум ( а с него и надо начинать) - это треугольник равносторонний. Тогда высоты у него равны и h/H=1

т.е.

1) при углу при вершине =60  отношение равно 1

  теперь сразу же выплывает второе решение

2)  при углу при вершине <60    отношение будет   h/H <1  (решение легкое, кто хочет, может сам доказать)

3) т.к. сказано, что высота h опущена на сторону, а не на продолжение, то треугольник не может быть тупоугольным, значит, максимально он может быть прямоугольным. Т.е. угол при вершине может быть 90.  Тогда и h/H = √2

т.е. отношение будет больше 0 до √2 и еще точное значение 1

Answer 2

Для нахождения всех возможных значений отношения h/H в равнобедренном треугольнике, воспользуемся свойствами подобных треугольников.

Пусть основание равнобедренного треугольника составляет длину b, а боковая сторона (равная сторона) имеет длину a. Тогда треугольник можно изобразить следующим образом:

bashCopy code
    A
   / \
h /   \ h
 /_____\ 

B b C

Где A, B и C - вершины треугольника, h - высота, опущенная на боковую сторону (а также на основание, так как треугольник равнобедренный), и H - высота, опущенная на основание.

Теперь рассмотрим треугольники ABH и ACH. Они являются подобными, так как угол при вершине A общий у них обоих, а угол BAH равен углу CAH, так как это два перпендикуляра, опущенных из вершины треугольника на прямую. Также углы при вершинах B и C являются прямыми углами (90 градусов) как основания треугольников.

Из подобия треугольников ABH и ACH следует, что отношение длин высот будет равно отношению длин оснований:

h / H = b / a

Теперь зная, что b = a (так как это равнобедренный треугольник), мы можем выразить h/H через a:

h / H = a / a h / H = 1

Таким образом, мы получили, что отношение h/H равно 1 для всех равнобедренных треугольников. Вне зависимости от размеров треугольника, данное отношение будет всегда равно 1.