Question

Докажите теорему Фалеса

Answer 1

Пусть А1, А2, А3 — точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла и А2 лежит между А1 и А3 (рис. 131). Пусть В1, В2, В3 — соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем, что если А1А2 = А2Аз, то В1В2=В2В3.

Проведем через точку В2 прямую EF, параллельную прямой A1A3. По свойству параллелограмма A1A2=FB2, А2А3 = B2E. И так как А1А2=А2А3, то FВ2=В2Е.

Треугольники B2B1F и В2В3Е равны по второму признаку. У них B2F=B2E по доказанному. Углы при вершине В2 равны как вертикальные, а углы B2FB1 и В2ЕВ3 равны как внутренние накрест лежащие при параллельных A1B1 и А3В3 и секущей EF.

Из равенства треугольников следует равенство сторон: В1В2=В2В3.

Answer 2

Конечно! Теорема Фалеса - это одна из основных теорем геометрии, которая утверждает следующее:

Если провести прямую линию, параллельную одной стороне треугольника, и она пересечет другие две стороны треугольника, то эти точки пересечения делят эти стороны пропорционально.

Для доказательства теоремы Фалеса рассмотрим следующую ситуацию:

Пусть у нас есть треугольник ABC, и прямая DE параллельна стороне BC. Точка D лежит на стороне AB, а точка E - на стороне AC.

Теперь, обозначим точку пересечения DE и BC как F.

Для того чтобы доказать, что стороны делятся пропорционально, нам нужно показать, что соответствующие отрезки на сторонах параллельных линий имеют равные пропорции.

1. Сначала рассмотрим треугольники ADE и ABC.

Так как прямая DE параллельна BC, углы ∠ADE и ∠ABC будут соответственными и равными, так как они оба будут соответственными углами при параллельных линиях и поперечной.

2. Теперь рассмотрим треугольники AEF и ABC.

У них также будут соответственные углы, так как прямая DE параллельна BC, и углы ∠ADE и ∠ABC уже были признаны соответственными.

3. Теперь рассмотрим треугольники ADE и AEF.

У этих треугольников углы ∠DAE и ∠EAF будут равны, так как они оба вертикальные углы, образованные пересечением параллельных линий DE и AF.

Теперь, так как у треугольников ADE и AEF равные углы, то соответствующие стороны также будут пропорциональны. В частности:

AD/AE = DE/EF

Таким образом, мы доказали теорему Фалеса. Если прямая DE параллельна одной стороне BC треугольника ABC, то точки пересечения DE с другими двумя сторонами AB и AC делят эти стороны пропорционально.