Question

на диагоналях ромба от точки их пересечения отложены четыре равных отрезка. докажите что концы этих отрезков являются вершинами квадрата. Решите пожалуйста с рисунком!

Answer 1

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Если на диагоналях ромба от точки их пересечения отложены четыре равных отрезка, то в полученном четырехугольника получится, что диагонали равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы четырехугольника пополам (то, что делят углы пополам видно из того, что диагоналями четырёхугольник делится на 4 равных равнобедренных прямоугольных треугольника, у которых катеты -это половина диагоналей, а гипотенуза - сторона четырехугольника; следовательно углы при гипотенузе равны по 45 градусов). Углы полученного четырехугольника - прямые. Все это относится к свойствам квадрата, значит четырёхугольник -квадрат, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте представим себе ромб с четырьмя равными отрезками, отложенными на его диагоналях, как показано на рисунке ниже:

luaCopy code
    A ---------- C
   /              \
  /                \
D ------------------ B
  \                /
   \              /
    E ---------- F

Где точки A, B, C и D обозначают вершины ромба, а точки E и F - точки пересечения диагоналей.

Для начала, докажем, что E, F, B и C образуют квадрат:

Шаг 1: Рассмотрим треугольник EBD. У него две стороны равны (по условию задачи), а угол между ними также равен, так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Это означает, что треугольник EBD - равнобедренный.

Шаг 2: Рассмотрим треугольник FBC. Аналогично, у него две стороны равны (по условию задачи), и угол между ними также равен.

Шаг 3: Так как углы B и C прямые (свойство ромба), то из равенства углов в треугольниках EBD и FBC следует, что углы E и F также прямые.

Таким образом, по определению квадрата, E, F, B и C образуют квадрат.