Question

Помогите пожалуйста составить уравнение плоскости проходящей через точки A(1;2;0) B(1;0;2) C(0;1;2)

Answer 1

Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно.                Уравнение плоскости, проходящей через эти точки, определяется из выражения:

(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.

Подставив координаты точек, получаем:

-2 x + -2 y + -2 z + 6 = 0

или, сократив на -2:

x + y + z - 3 = 0

.

             

Answer 2

Чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через данные точки A(1;2;0), B(1;0;2) и C(0;1;2), можно воспользоваться уравнением плоскости в трехмерном пространстве. Уравнение плоскости имеет общий вид:

Ax + By + Cz + D = 0,

где A, B, C - коэффициенты, а x, y, z - переменные координаты точек, через которые проходит плоскость.

Для нахождения коэффициентов A, B, C и D, подставим координаты точек A, B и C в уравнение и получим систему уравнений:

1. Подставим A(1;2;0): A * 1 + B * 2 + C * 0 + D = 0 A + 2B + D = 0

2. Подставим B(1;0;2): A * 1 + B * 0 + C * 2 + D = 0 A + 2C + D = 0

3. Подставим C(0;1;2): A * 0 + B * 1 + C * 2 + D = 0 B + 2C + D = 0

Теперь решим данную систему уравнений. Выразим A, B и C через D из первых двух уравнений:

1. A + 2B + D = 0 => A = -2B - D
2. A + 2C + D = 0 => A = -2C - D

Приравняем полученные значения A и раскроем скобки:

-2B - D = -2C - D -2B = -2C

Теперь можем определить B через C: B = C.

Теперь определим A через D и B:

A = -2B - D A = -2C - D

Так как B = C, то A = -2B - D = -2C - D.

Теперь можем выбрать, например, D = 1, и тогда получим A = -2, B = C = 1.

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки A(1;2;0), B(1;0;2) и C(0;1;2), будет иметь следующий вид:

-2x + y + z + 1 = 0.