Question

Если треугольник АВС имеет высотя АА1 и ВВ1, докажите что угол А1АС равен углу В1ВС

Answer 1

Эти углы равны, т.к. треугольники АА1С и ВВ1С подобны по прямому и общему углу С, потому что у подобных треугольников соответственные углы равные

Answer 2

Для доказательства равенства углов A1АС и В1ВС в треугольнике АВС, используем факт, что если два треугольника имеют равные соответствующие углы, то они подобны. А если два треугольника подобны, то отношение длин сторон в каждом из них одинаково.

Обозначим углы треугольника АВС как α, β и γ. Затем обозначим углы треугольников АА1С и ВВ1С как α1 и β1 соответственно.

Так как АА1 и ВВ1 — высоты треугольника АВС, то они перпендикулярны сторонам ВС и АС соответственно. Тогда углы ВАА1 и А1С равны прямым углам, а углы АВВ1 и В1С также равны прямым углам. Следовательно, углы α1 и β1 являются прямыми углами.

Теперь рассмотрим треугольник АА1С. Он имеет два прямых угла: α1 и 90°. Следовательно, сумма углов в этом треугольнике равна 180°. Таким образом:

α1 + γ = 180° ...........(1)

Аналогично рассмотрим треугольник ВВ1С. Он также имеет два прямых угла: β1 и 90°. Следовательно, сумма углов в этом треугольнике также равна 180°:

β1 + γ = 180° ...........(2)

Из уравнений (1) и (2) мы можем заключить, что α1 + γ = β1 + γ. Вычитая γ из обеих частей этого равенства, получаем:

α1 = β1

Таким образом, угол A1АС равен углу В1ВС.