Question

Пирамида SABCD Пусть K — середина ребра SD, M — середина ребра AB, а пирамида SABCD правильная, причём все её рёбра равны. Найдите угол между прямыми AK и SM. Только не координатным методом пж.

Answer 1

Используем метод переноса.

Примем длину ребра пирамиды равной 4 (для удобства деления на части).

Так как у пирамиды все рёбра равны, то в основании квадрат 4х4, а боковые грани - правильные треугольники.

Заданные отрезки как высоты в правильных треугольниках равны между собой и равны 4*cos 30° = 4*(√3/2) = 2√3.

Перенесём отрезок MS точкой М в точку А, то есть на величину в 2 единицы. Точка S передвинется в точку S' так, что её проекция - это середина стороны АД.

Находим высоты точки S и точки К.

Диагональ АС = 4√2. Тогда треугольник АSС - прямоугольный, так как АS = SС = 4. Углы наклона боковых рёбер к основанию равны 45 градусов, поэтому высота пирамиды равна половине её диагонали основания, то есть 4√2/2 = 2√2.

Высота точки К равна половине этой величины, то есть √2.

Проекция отрезка S'K на основание равна (1/4) части диагонали, или √2.

Находим натуральную длину отрезка S'K как гипотенузу в прямоугольном треугольнике с одним катетом √2 и вторым, равным разности высот точек S' и К, то есть 2√2 - √2 = √2.

Отсюда видим, что длина отрезка S'K равна 2.

Все стороны треугольника S'АK определились и находим искомый угол между заданными отрезками как угол А в равнобедренном треугольнике со сторонами 2 по 2√3 и 2.

Этот угол равен 2arc sin(1/(2√3)) = 0,585686 радиан или 33,55731 градуса.

Answer 2

Для нахождения угла между прямыми AK и SM в правильной пирамиде SABCD, мы можем воспользоваться геометрическими свойствами правильных пирамид.

Посмотрим на рисунок, где S — вершина пирамиды, A и B — основание, K и M — середины ребер SD и AB соответственно:

cssCopy code
      S
     / \
    /   \
   A-----B
   |     |
   |  K  |
   |     |
   D-----C

Поскольку SABCD — правильная пирамида, все её ребра равны. Обозначим длину ребра, например, как 'a'. Тогда, длины отрезков AK и KM будут равны a/2 (поскольку K и M являются серединами соответствующих ребер).

Теперь посмотрим на треугольник AKM:

cssCopy code
      S
     / \
    /   \
   A-----B
   |\   /|
   | \ / |
   | KX M|
   | / \ |
   |/___\|
   D-----C

Поскольку KX — медиана треугольника ABM, она делит угол AMB пополам. Так как треугольник ABM — правильный (все стороны равны), угол AMB равен 60 градусов.

Теперь, обратимся к треугольнику AKX:

cssCopy code
      S
     / \
    /   \
   A-----B
   |\   /|
   | \ / |
   | KX M|
   | / \ |
   |/___\|
   D-----C

Так как AK и KM равны, а угол AMB равен 60 градусов, угол AKX тоже будет 60 градусов.

Теперь у нас есть угол AKX, который равен 60 градусов. Однако, нам нужен угол между прямыми AK и SM. Заметим, что треугольники AKS и MKS являются прямоугольными и имеют общий угол KSM, так как SK — высота пирамиды SABCD, опущенная из вершины S.

cssCopy code
      S
     / \
    /   \
   A-----B
   |\   /|
   | \ / |
   | KX M|
   | / \ |
   |/___\|
   D-----C

Таким образом, угол AKS равен углу MKS, а значит, угол между прямыми AK и SM также равен 60 градусов.

Итак, ответ: угол между прямыми AK и SM составляет 60 градусов.