Question

100б обчислити площу трикутника який обмежений асимптотами гіперболи і прямою 9х+2у-24=0

Answer 1

асимптоты для гиперболы вида (x-h)^2/a^2-(y-k)^2/b^2=1

имеют вид y=+-b(x-k)/a+k

здесь они будут y1=3x/2 и y2=-3x/2

уравнение прямой приведу к виду y=12-4.5x

график во вложении

треугольник имеет стороны √13;√52;√104

через скалярное произведение найду косинус угла между асимптотами , его синус, и площадь треугольника

√104=√13*√52*cosx

cosx=√(2/13); sinx=√(11/13)

S=√13*√52*√(11/13)/2=√143≈12

Answer 2

Для обчислення площі трикутника, який обмежений асимптотами гіперболи і прямою 9x + 2y - 24 = 0, спочатку потрібно знайти точки їх перетину.

Асимптотами гіперболи є пряма y = ±(a/b) * x, де a і b - це параметри гіперболи. Так як в нашому випадку асимптотами обмежуються гіпербола зі стандартним рівнянням, де a = b = 100, маємо a/b = 100/100 = 1.

Тому асимптоти гіперболи мають рівняння y = x і y = -x.

Тепер знайдемо точки перетину цих асимптот з прямою 9x + 2y - 24 = 0:

1. Підставимо y = x у рівняння прямої: 9x + 2(x) - 24 = 0 9x + 2x - 24 = 0 11x - 24 = 0 11x = 24 x = 24/11

Точка перетину для y = x: (24/11, 24/11)

2. Підставимо y = -x у рівняння прямої: 9x + 2(-x) - 24 = 0 9x - 2x - 24 = 0 7x - 24 = 0 7x = 24 x = 24/7

Точка перетину для y = -x: (24/7, -24/7)

Тепер, коли ми знайшли точки перетину, ми можемо обчислити сторони трикутника:

a) Сторона, обмежена асимптотою y = x і прямою 9x + 2y - 24 = 0:

Для знаходження довжини цієї сторони використаємо формулу відстані між двома точками:

Довжина = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

Довжина = √((24/11 - 0)² + (24/11 - 0)²) = √(576/121 + 576/121) = √(1152/121) = √(1152)/√(121) = 8/11

b) Сторона, обмежена асимптотою y = -x і прямою 9x + 2y - 24 = 0:

Довжина = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

Довжина = √((24/7 - 0)² + (-24/7 - 0)²) = √(576/49 + 576/49) = √(1152/49) = √(1152)/√(49) = 8/7

Тепер, знаючи довжини сторін трикутника, можемо обчислити його площу за допомогою формули площі трикутника:

Площа = (1/2) * основа * висота

Площа = (1/2) * (8/11) * (8/7) = 64/154 = 32/77

Отже, площа трикутника, обмеженого асимптотами гіперболи і прямою 9x + 2y - 24 = 0, дорівнює 32/77 одиницям квадратних.