Question

Докажите, что сумма противолежащих углов равнобокой трапеции равна 180. Верно ли обратное утверждение: если сумма противолежащих углов трапеции равна 180, то данная трапеция равнобокая?

Answer 1

У равнобокой трапеции углы при основе равны. Сума двух углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180° - как внутренние односторонние углы. Назовем трапецию АВСД, где основы АВ и СД, тогда:

Угол А=угол В, угол С = угол Д

А+С=180°=А+Д

В+Д=180°=В+С.

Имеем, что противоположные углы имеют в сумме 180°

Да, если противоположные углы имеют в сумме 180, то трапеция равнобокая

Answer 2

Докажем, что сумма противолежащих углов равнобокой трапеции равна 180 градусов. Затем проверим обратное утверждение и покажем, что оно неверно.

1. Доказательство равенства суммы противолежащих углов равнобокой трапеции 180 градусов:

Предположим, у нас есть равнобокая трапеция ABCD, где AB || CD и AD = BC. Пусть угол A равен α, а угол B равен β. Также обозначим точку пересечения диагоналей как O.

Так как AB || CD, то углы A и B являются соответственными углами и равны между собой: α = β (закон параллельных линий).

Также, так как AD = BC, то углы AOD и BOC являются вертикальными углами и также равны между собой: AOD = BOC.

Из суммы углов в четырехугольнике AODC, мы знаем, что AOD + AOC + COD + DOC = 360 градусов.

Вместо AOD и COD мы можем написать α, так как эти углы равны углам A и C, соответственно.

Также, вместо AOC и DOC мы можем написать (α + β), так как эти углы равны углам B и D, соответственно.

Подставим это в уравнение суммы углов:

α + (α + β) + β + (α + β) = 360.

Объединяем подобные слагаемые:

3α + 3β = 360.

Делим обе стороны на 3:

α + β = 120.

Таким образом, сумма противолежащих углов равнобокой трапеции равна 120 градусов.

2. Проверка обратного утверждения:

Обратное утверждение гласит: если сумма противолежащих углов трапеции равна 180 градусов, то данная трапеция равнобокая.

Это утверждение неверно. Рассмотрим пример неравнобокой трапеции, у которой сумма противолежащих углов равна 180 градусов:

A-------B | | D-------C

Пусть угол A равен 100 градусов, тогда угол B будет также равен 100 градусов (сумма противолежащих углов равна 180 градусов).

Но эта трапеция не является равнобокой, потому что её боковые стороны (AD и BC) не равны.

Таким образом, обратное утверждение не всегда верно, и сумма противолежащих углов равна 180 градусов не является характеристикой равнобокой трапеции.