Question

ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ СРОЧНО ОЧЕНЬ СРОЧНО: докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, площадь которых равны между собой.

Answer 1

Вот есть треугольник авс,сд-медиана

Площадь треугольника=1/2a*h

Проведём из точки с высоту, напишем площади обоих треугольников

АСД=1/2*h*ад

СДВ=1/2*h*вд

ад=вд т к медиана делит сторону пополам, ну высота у нас одна, она равна самой себе, следовательно площади равны

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте обратимся к геометрическим свойствам треугольника и медианы.

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Каждая сторона треугольника имеет свою медиану, и точка их пересечения называется центром тяжести треугольника.

Пусть ABC - исходный треугольник, а G - его центр тяжести. Медиана, проведенная из вершины A, пересекает сторону BC в точке M.

Теперь давайте докажем, что медиана AM делит треугольник ABC на два треугольника, площади которых равны.

Доказательство:

1. Построим медиану AM и обозначим точку ее пересечения с BC как M.
2. Пусть точка O - середина стороны BC (точка, равноудаленная от B и C).
3. Так как G - центр тяжести треугольника ABC, то MO делит грань BC пополам (то есть MO = OB = OC).

Теперь рассмотрим два треугольника: AMO и ABO.

Треугольник AMO:

• Он образован медианой AM и двумя отрезками AO и MO.
• Медиана AM делит сторону BC пополам, так что AM = MB = MC (свойство медианы треугольника).
• Мы выяснили, что MO = OB = OC.

Треугольник ABO:

• Он образован медианой AM и двумя отрезками AB и AC.
• AM = MB = MC (из свойства медианы).
• Так как O - середина BC, то OB = OC.

Мы видим, что треугольники AMO и ABO имеют равные стороны, поэтому они равны между собой (по стороне-стороне-стороне).

Теперь давайте рассмотрим их площади:

• Площадь треугольника AMO: S(AMO) = (1/2) * AM * MO.
• Площадь треугольника ABO: S(ABO) = (1/2) * AM * OB.

Так как AM = MO и AM = OB, то площади S(AMO) и S(ABO) равны между собой.

Таким образом, мы доказали, что медиана AM делит треугольник ABC на два треугольника (AMO и ABO), площади которых равны между собой.