Question

Пожалуйста помогите доказать методом от противного. Через точку, не лежащую на прямой, проходит единственная прямая, перпендикулярная этой прямой.

Answer 1

Это одна из аксиом... Через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и только одна.  

 

Доказательстом и являеться эта аксиома... другого нет..)

Answer 2

Допустим, что утверждение неверно, и через данную точку (назовем её P) проходят две различные прямые, перпендикулярные данной прямой (назовем её l).

Пусть прямые, перпендикулярные l и проходящие через точку P, называются a и b.

Таким образом, у нас есть следующая ситуация:

cssCopy code
 a
  \
   \
    \ P
     \
      \
       l
      /
     /
    / b

Докажем, что прямые a и b суть одна и та же прямая, что приведет к противоречию и доказательству исходного утверждения.

Поскольку прямая l перпендикулярна их обеих, то углы между l и a, а также между l и b, равны 90 градусов.

Предположим, что a и b - это различные прямые. Пусть они пересекаются в точке O:

cssCopy code
 a
  \        O
   \      /
    \    /
     \  / P
      \/      
       l
      /
     /
    / b

Так как углы между l и a, а также между l и b, равны 90 градусов, то угол AOP равен 180 градусов (углы в линии). Но это противоречит определению прямой линии, где угол в линии равен 180 градусам.

Таким образом, предположение о существовании двух различных прямых, перпендикулярных l и проходящих через точку P, неверно. Значит, через данную точку P проходит единственная прямая, перпендикулярная прямой l.