Question

Отношение радиусов описанной и вписанной окружностей в прямоугольном треугольнике равно 13/4, один из катетов равен a. Найдите другой катет, площадь, а так же постройте рисунок

Answer 1

В прямоугольном треугольнике R = c/2      r = (a + b - c)/2R + r = (a + b)/2Тогда  (a + b)/c = (R + r)/R = 17/13Пусть гипотенуза треугольника равна С, а один из катетов равен Х. Тогда второй катет равен 17/13 * C - Х. Согласно теореме ПифагораХ² + (17/13 * C - X)² = C²X² + 289/169 * C² - 34/13 * C * X + X² = C²X² - 17/13 * C * X + 60/169 = 0X₁ = 5/13 * C       X₂ = 12/13 * Cледовательно, если больший катет равен а, то меньший катет равен  а/2,4 = 5*a/12,  а площадь треугольника  S = a * (5*a/12) / 2 = 5 * a² / 24 .Если же меньший катет равен а, то больший катет равен  a * 12/5 = 2,4 * a   а площадь треугольника  S = a * 2,4 * a / 2 = 1,2 * a².

Answer 2

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где AB и BC - катеты, а AC - гипотенуза. Пусть R1 и R2 - радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно.

Дано: Отношение радиусов описанной и вписанной окружностей: R1 / R2 = 13 / 4 Длина одного из катетов: a

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности выражается как половина гипотенузы, т.е., R2 = AC / 2.

Чтобы найти другой катет и площадь треугольника, нам нужно выразить радиусы и площадь через известные величины.

По теореме Пифагора: AC^2 = AB^2 + BC^2

Радиус описанной окружности R1: R1 = AC / 2

Площадь треугольника: S = (AB * BC) / 2

Теперь давайте решим задачу.

1. Найдем радиус вписанной окружности R2: R1 / R2 = 13 / 4 (AC / 2) / R2 = 13 / 4 R2 = (AC / 2) * (4 / 13)

2. Найдем длину гипотенузы AC: Используем теорему Пифагора: AC^2 = AB^2 + BC^2 AC^2 = a^2 + a^2 AC^2 = 2a^2 AC = √(2a^2) = a√2

3. Теперь найдем R2: R2 = (AC / 2) * (4 / 13) = (a√2 / 2) * (4 / 13) = (2a√2) / 13

4. Найдем другой катет BC: Так как R2 = BC / 2, то BC = 2 * R2 = 2 * (2a√2 / 13) = (4a√2) / 13

5. Найдем площадь треугольника: S = (AB * BC) / 2 = (a * (4a√2) / 13) / 2 = (2a^2√2) / 13

Таким образом, мы нашли длину второго катета BC: (4a√2) / 13 и площадь треугольника: (2a^2√2) / 13.

Для наглядности, вот пример рисунка прямоугольного треугольника ABC с вписанной и описанной окружностями:

cssCopy code
        B
       /|
      / |
  R2 /  | R1
    /   |
   /____|
  A  R3 C

Где: AB = a (длина заданного катета), BC = (4a√2) / 13 (длина найденного катета), AC = a√2 (длина гипотенузы), R1 - радиус описанной окружности, R2 - радиус вписанной окружности.