Question

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведены биссектрисы АК и СМ Докажите , что ВК=ВМ .

Answer 1

Док-во: так как треуг. равнобедренный, то биссектрисы, проведенные из равных углов при основании АС, пересекут противоположные им стороны в определенных точках М и К. Эти точки тоже будут находиться на одинаковом расстоянии от т.В, а значит ВМ = ВК.

Answer 2

Для доказательства того, что ВК=ВМ в равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС и проведенными биссектрисами АК и СМ, нужно воспользоваться свойствами биссектрис треугольника.

Пусть у нас есть равнобедренный треугольник АВС с биссектрисами АК и СМ, пересекающимися в точке К.

Теперь рассмотрим два треугольника: треугольник ВКС и треугольник ВМС.

1. Сначала докажем, что угол ВКС равен углу ВМС. В треугольнике АКС мы имеем две равные стороны: АК и СК (по условию равнобедренности треугольника АВС) и угол ВАК равен углу ВСК (как биссектрисы). То есть по сторона-угол-сторона (SAS) эти два треугольника равны, и угол ВКС равен углу ВАК.

В треугольнике СМС мы также имеем две равные стороны: СМ и СК (по условию равнобедренности треугольника АВС) и угол ВСМ равен углу ВМС (как биссектрисы). То есть по сторона-угол-сторона (SAS) эти два треугольника равны, и угол ВМС равен углу ВСМ.

2. Теперь докажем, что стороны ВК и ВМ равны между собой. В треугольнике АКВ у нас равны углы ВАК и ВКА (по биссектрисе), и угол ВАК равен углу ВСК (как углы равнобедренного треугольника АВС). Следовательно, треугольник АКВ равен треугольнику ВКС по углу-сторона-углу (ASA). Таким образом, стороны ВК и АВ равны.

В треугольнике СМВ у нас равны углы ВСМ и ВМС (по биссектрисе), и угол ВСМ равен углу ВМС (как углы равнобедренного треугольника АВС). Следовательно, треугольник СМВ равен треугольнику ВМС по углу-сторона-углу (ASA). Таким образом, стороны ВМ и АВ равны.

3. В итоге, мы получили, что стороны ВК и ВМ равны между собой, что и требовалось доказать: ВК = ВМ.