Question

В треугольнике ABC с разными сторонами биссектриса угла BAC пересекает сторону BC в точке K и описанную вокруг треугольника ABC окружность в точке L. Через точки , B K L проводится вторая окружность, которая вторично пересекает прямую AB в точке M . Докажите, что AM=AC .

Answer 1

Решение :  //////////////////////////////////

Answer 2

Для доказательства того, что AM = AC, рассмотрим следующую цепочку логических шагов:

Шаг 1: Докажем, что треугольник BKM равнобедренный. Из условия задачи известно, что биссектриса угла BAC пересекает сторону BC в точке K. Таким образом, угол BKC равен углу BAC. А также, угол CBK равен углу CAB, так как биссектриса делит угол C на два равных угла. Таким образом, угол BKM тоже равен углу BAC, и мы получаем, что угол BKM равен углу BAC.

Шаг 2: Докажем, что треугольник BKL также равнобедренный. Угол BKL равен углу BAC, так как он опирается на ту же дугу, что и угол BAC в описанной окружности треугольника ABC.

Шаг 3: Докажем, что треугольник BKM подобен треугольнику BLC. Мы знаем, что угол BKM равен углу BAC и угол BKL равен углу BAC, значит углы BKM и BKL равны между собой. Кроме того, угол BMK равен углу CLK, так как они также являются вертикальными углами. Значит, по двум углам треугольник BKM подобен треугольнику BLC.

Шаг 4: Докажем, что треугольник BLC подобен треугольнику ABC. Угол BLC равен углу BAC, так как они опираются на одну и ту же дугу в описанной окружности треугольника ABC. Кроме того, угол LBC равен углу ABC, так как они являются вертикальными углами. Значит, по двум углам треугольник BLC подобен треугольнику ABC.

Шаг 5: Докажем, что треугольник BKM подобен треугольнику ABC. Так как треугольник BKM подобен треугольнику BLC, и треугольник BLC подобен треугольнику ABC, то по транзитивности подобия, треугольник BKM подобен треугольнику ABC.

Шаг 6: Докажем, что AM = AC. Так как треугольник BKM подобен треугольнику ABC, соответствующие стороны пропорциональны. То есть, BK/BM = BC/AC. Но также из равнобедренности треугольника BKM мы знаем, что BM = BK, следовательно, BC/AC = 1, и отсюда BC = AC. Теперь рассмотрим треугольник ABC: у нас уже есть, что угол BAC равен углу BKL. Но так как BKL - это угол, опирающийся на дугу BC, то угол BKL также равен углу BAC. Таким образом, треугольник ABC равнобедренный, и мы знаем, что BC = AC. Из этого следует, что AM = AC, так как AM - это отрезок, который является диаметром второй окружности, а следовательно, равен диаметру описанной окружности треугольника ABC. Таким образом, мы доказали, что AM = AC.