Question

На сторонах угла А отмечены точки М и К так, что АМ = АК. Известно, что точка Р лежит внутри угла А и РК = РМ. Докажите, что АВ = АС.

Answer 1

Так как AM=AK и точка P лежит внутри угла A

Значит PK=PM=AM=AK

Тогда все половины сторон ровны, соответственно AB=AC

Answer 2

Для доказательства того, что АВ = АС, давайте рассмотрим треугольники АВК и АСМ. У нас есть следующая информация:

1. АМ = АК (Дано).
2. РК = РМ (Дано).
3. Угол МАК = Угол КАР (Уголы, образованные сторонами угла А, равны, так как они вписаны в окружность с центром в точке АМ).

Теперь, давайте рассмотрим треугольник АВК:

У нас есть две стороны этого треугольника, равные АК и АВ, и угол МАК, который равен углу КАР. Теперь, используем равенство треугольников по стороне-углу-стороне (СУС):

Так как угол МАК = угол КАР и АМ = АК, то треугольники АМК и АРК равны.

Теперь рассмотрим треугольник АСМ:

У нас есть две стороны этого треугольника, равные АМ и АС, и угол КАР, который равен углу МАК (по условию).

Теперь, используем равенство треугольников по стороне-углу-стороне (СУС):

Так как угол МАК = угол КАР и РК = РМ, то треугольники АРК и АМР равны.

Теперь, так как треугольники АМК и АРК равны, а треугольники АРК и АМР также равны, то треугольники АМК и АМР равны.

Из равенства этих треугольников следует, что стороны АК и АР равны. То есть АК = АР.

Теперь рассмотрим треугольник АРК:

У нас есть две стороны этого треугольника, равные АК и АР, и угол КАР, который равен углу МАК (по условию).

Теперь, используем равенство треугольников по стороне-углу-стороне (СУС):

Так как угол КАР = угол МАК и АК = АР, то треугольники АКР и АМК равны.

Теперь рассмотрим треугольник АМК:

У нас есть две стороны этого треугольника, равные АК и АМ, и угол МАК, который равен углу КАР (по условию).

Теперь, используем равенство треугольников по стороне-углу-стороне (СУС):

Так как угол МАК = угол КАР и АК = АМ, то треугольники АМК и АКР равны.

Теперь, так как треугольники АМК и АКР равны, а треугольники АКР и АМК также равны, то треугольники АМК и АКР равны.

Из равенства этих треугольников следует, что стороны АМ и АК равны. То есть АМ = АК.

Итак, мы доказали, что АК = АМ и АВ = АК, отсюда следует, что АВ = АС.

Таким образом, доказано, что АВ = АС.