Question

Точки B и D лежат в плоскости бета, а точка K не лежит в этой плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков BK и DK, паралельна плоскости бета

Answer 1

В тругольнике ВКD NT - средняя линия - параллельна ВD, BD принадлежит плоскости b, значит NT параллельна плоскости b.

Answer 2

Предположим, что точки B и D лежат в плоскости бета, а точка K не лежит в этой плоскости. Пусть M и N - середины отрезков BK и DK соответственно. Нам нужно доказать, что прямая, проходящая через M и N, параллельна плоскости бета.

Для начала, обратим внимание на то, что отрезки BM и DN лежат в плоскости бета, так как они являются прямыми линиями, лежащими в этой плоскости и соединяющими точки, которые также лежат в ней. Таким образом, прямые BM и DN лежат в плоскости бета.

Теперь рассмотрим треугольник BMK. Так как M - середина отрезка BK, то по определению, отрезок MK делит BM пополам. Таким же образом, для треугольника DNK можно сказать, что отрезок NK делит DN пополам. Обозначим точку пересечения прямых BM и DN как P.

Теперь предположим, что прямая, проходящая через M и N, не параллельна плоскости бета. Это значит, что она пересекает плоскость бета по некоторой прямой линии, обозначим эту прямую линию как l.

Поскольку точка P лежит на линии l, она должна лежать в плоскости бета (так как прямые BM и DN лежат в этой плоскости). Но также мы знаем, что точка K не лежит в плоскости бета. Таким образом, прямая l не может проходить через точку P, что приводит к противоречию.

Таким образом, наше предположение неверно, и прямая, проходящая через M и N, должна быть параллельна плоскости бета.