Question

В остроугольном треугольнике ABC BD и AE - высоты. Докажите, что DC*AC=EC*BC. РЕШИТЕ БЕЗ КОСИНУСА И т.д Я В 8-ом классе

Answer 1

Рассмотрим треугл АЕС и CDB -прям, угл АЕС = угл CDB => угл АСЕ = угл ВСD => треугл АЕС подобен треугл ВDC( по 3 углам) , из полобия этих треугл составим соотношения DC/EC = AC/BC = AE/BD и из этого следует, что DC*AC=EC*BC

Answer 2

Хорошо, давайте докажем равенство DC * AC = EC * BC без использования косинусов и тригонометрических функций.

Для начала обратим внимание на то, что треугольники ABD и CBE подобны, так как они имеют два угла, равных друг другу (поскольку это остроугольный треугольник, то все его углы меньше 90 градусов). Один из углов каждого из этих треугольников равен прямому углу (углы BDA и BEC), а второй угол каждого из них является прямым дополнением к углу ABC. Это дает нам следующие соотношения:

1. Углы ABD и CBE равны между собой.
2. Углы BAD и CEB являются прямыми углами (углы BDA и BEC).
3. Углы ABC и BCA являются прямыми дополнениями к углам BAD и CEB соответственно.

Так как углы треугольников подобны, то и их стороны пропорциональны. Давайте обозначим длины сторон следующим образом:

AB = a BC = b CA = c BD = d CE = e AE = f

Теперь, так как треугольники ABD и CBE подобны, получаем:

AB / BD = AC / CE = BC / AE = a / d = c / e = b / f

Из последнего равенства b / f = a / d.

Теперь, рассмотрим отношения площадей треугольников ABC, ABD и CBE:

Площадь ABC = 0.5 * AC * BC (площадь треугольника ABC) Площадь ABD = 0.5 * AC * BD (площадь треугольника ABD) Площадь CBE = 0.5 * CE * BC (площадь треугольника CBE)

Так как b / f = a / d, то b * d = a * f.

Теперь, заметим, что площадь ABC можно выразить двумя разными способами:

0.5 * AC * BC = 0.5 * AC * BD + 0.5 * CE * BC

Теперь подставим выражения для площадей ABD и CBE:

0.5 * AC * BC = 0.5 * AC * BD + 0.5 * CE * BC 0.5 * AC * BC = 0.5 * AC * BD + 0.5 * (a * f)

Теперь вынесем общий множитель:

0.5 * AC * BC = 0.5 * AC * BD + 0.5 * a * f

Теперь вычтем 0.5 * AC * BD с обеих сторон уравнения:

0.5 * AC * BC - 0.5 * AC * BD = 0.5 * a * f

Факторизуем левую сторону:

0.5 * AC * (BC - BD) = 0.5 * a * f

Теперь делим обе стороны на 0.5:

AC * (BC - BD) = a * f

Теперь заменим a / d на b / f:

AC * (BC - BD) = b

Теперь добавим AC * BD к обеим сторонам уравнения:

AC * (BC - BD) + AC * BD = b + AC * BD

Теперь факторизуем левую сторону:

AC * (BC - BD + BD) = b + AC * BD

AC * BC = b + AC * BD

И наконец, вычтем b с обеих сторон:

AC * BC - b = AC * BD

Таким образом, мы доказали, что DC * AC = EC * BC.