Question

Даю 50 баллов. В треугольнике ABC проведены высота BD, медиана BM и биссектриса BK.Известно, что угол DBK= углу KBM. Докажите, что угол ABC = 90 градусов.

Answer 1

1)

BK биссектриса, тогда ABK=KBC или ABD+DBK=CBM+KBM откуда ABD=CBM=y и DBK=x по теореме Штейнера получается

AD*AM/(CM*CD) = (AB/BC)^2 но так как AM=CM (медиана) AD/CD = (AB/BC)^2 (1) с одной стороны AD=AB*siny  и CD=BC*sin(2x+y) из прямоугольных треугольников ABD и CBD соответственно.  

с другой AB/BC = cos(2x+y)/cosy  из треугольника ABC Подставляя в  (1) откуда siny/sin(2x+y) = cos(2x+y)/cosy   откуда sin2x*cos(2x+2y)=0, x<180

откуда x=45-y  

Значит ABC=2x+2y = 2*(x+45-x) = 90 гр

2) Способ второй

Опишем около треугольника ABC окружность,  пусть X,H,Y точки пересечения BM,BK,BD с описанной окружностью.

Тогда из условия следует AX=CY и AH=CH (опираются на равные углы) так же получаем что H середина дуги XY так как BK биссектриса, HM высота и биссектриса равнобедренного треугольника AHC и XY || AC (так как AXYC) равнобедренная трапеция , значит BYX=BDA=90 гр, если F  точка пересечения  XY и MH тогда из подобия треугольников  XHM и XYB учитывая что XH=HY  откуда XM/BX=1/2 то есть BM=MX а так как  MX=MY (треугольники AMX и CMY равны) получаем BM=MX=MY треугольник BMY  равнобедренный , откуда  BD=YD откуда M центра описанной окружности, значит AC диаметр  откуда ABC=90 гр.

Answer 2

Давайте обозначим угол ABC как α. Нам известно, что угол DBK равен углу KBM. Обозначим эту величину как β.

Также, давайте обозначим угол BAC как γ.

Теперь рассмотрим треугольник BDK. Угол DBK равен β, угол BDK равен 90° (поскольку BD - высота треугольника ABC, и она перпендикулярна к стороне AC). Также, угол KBD равен 180° - (β + 90°), так как сумма углов треугольника равна 180°.

Затем рассмотрим треугольник BKM. Угол KBM равен β (по условию), угол BMK равен γ/2 (поскольку BM - медиана, она делит сторону AC пополам), и угол BKM равен 180° - (β + γ/2), так как сумма углов треугольника равна 180°.

Теперь мы можем сравнить два выражения для угла BKM из обоих треугольников:

1. Из треугольника BDK: 180° - (β + 90°).
2. Из треугольника BKM: 180° - (β + γ/2).

Таким образом, получаем равенство: 180° - (β + 90°) = 180° - (β + γ/2).

Теперь упростим это уравнение:

1. 180° - β - 90° = 180° - β - γ/2.
2. 90° - β = 180° - β - γ/2.

Теперь уберем общее слагаемое β:

1. 90° = 180° - γ/2.
2. 90° + γ/2 = 180°.

Теперь выразим γ:

γ/2 = 180° - 90°, γ/2 = 90°, γ = 180°.

Таким образом, мы доказали, что угол BAC (γ) равен 180°. Но это невозможно, так как сумма углов треугольника не может быть равна 180°, если он не вырожденный.

Следовательно, наше предположение о том, что угол DBK равен углу KBM, было неверным. А это, в свою очередь, означает, что угол BAC (γ) не равен 180°, а, следовательно, угол ABC (α) не равен 90°.

Таким образом, утверждение "угол ABC = 90 градусов" неверно.