Question

В треугольнике АВС проведены биссектрисы А К. Центр окружности, вписанного в треугольник АК В, совпадает с центром окружности, описанной около треугольника АВС. Найдите углы треугольника АВС. ДАЮ МНОГО БАЛЛОВ!!!!!!!

Answer 1

Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис  ⇒  ∠КВО = ∠АВО , ∠ВАО = ∠КАО

АО = ВО = СО - по условию ⇒  ΔАОВ , ΔВОС , ΔАОС - равнобедренные.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны ⇒  ∠АВО = ∠ВАО , ∠СВО = ∠ОСВ . Но ∠СВО = ∠АВО

Значит, ∠АВО = ∠ВАО = ∠СВО = ∠ОСВ = ∠КАО = α

АК - биссектриса ∠А - по условию  ⇒  ∠ВАК = ∠САК = ∠ВАО + ∠КАО = α + α = 2α

ΔАОС - равнобедренный  ⇒  ∠ОАС = ∠АСО = ∠ОАК + ∠САК = α + 2α = 3α

Рассмотрим ΔАВС: ∠А + ∠В + ∠С = 180°

2α + 4α + 4α = 180°

10α = 180°  ⇒  α = 18°

Значит, ∠В = 2α = 2•18° = 36° , ∠А = ∠С = 4α = 4•18° = 72°

ОТВЕТ: 36°, 72°, 72°

Answer 2

Давайте рассмотрим данный треугольник АВС и разберем, как найти его углы с помощью данной информации.

Пусть O будет центром окружности, вписанной в треугольник АКВ, а P - центром окружности, описанной около треугольника АВС. Так как O совпадает с P, то окружность, описанная около треугольника АВС, является также описанной окружностью треугольника АКВ.

Теперь рассмотрим треугольник АКВ. По условию, точка O - центр вписанной окружности, и биссектрисы АК и АВ пересекаются в этой точке O. Из свойств вписанной окружности известно, что угол КОВ равен половине угла КАВ.

Таким образом, угол КОВ = угол КАВ / 2.

Теперь обратим внимание на треугольник АВС. Так как O является центром описанной окружности, угол ВОС равен углу АВС. Также, из свойств описанной окружности, угол ВОС равен углу ВКС.

Таким образом, угол ВОС = угол АВС = угол ВКС.

Теперь у нас есть равенства углов КОВ = угол КАВ / 2 и угол ВОС = угол АВС = угол ВКС.

Объединим эти знания и обозначим угол КАВ за α.

Тогда угол КОВ = α / 2 и угол ВОС = α.

Заметим, что сумма углов треугольника равна 180°:

(угол А) + (угол В) + (угол С) = 180°.

Используя известные равенства углов, получаем:

(α / 2) + α + α = 180°.

Упростим уравнение:

(5/2)α = 180°.

Теперь найдем α:

α = (180° * 2) / 5 = 72°.

Таким образом, угол КАВ (α) равен 72°. А уголы треугольника АВС равны:

Угол А = 2α = 2 * 72° = 144°. Угол В = Угол ВОС = α = 72°. Угол С = 180° - Угол А - Угол В = 180° - 144° - 72° = 36°.

Итак, углы треугольника АВС равны: 144°, 72° и 36°.