Question

Дана окружность, диаметр MN которой равен 16. На касательной к этой окружности в точке M отложен отрезок MP, длина которого больше, чем 15. Из точки P проведена вторая касательная к окружности, пересекающая прямую MN в точке Q. Найдите площадь треугольника MPQ, если его периметр равен 72.

Answer 1

Пусть MP=x, NQ=y треугольник MPQ прямоугольный так как MP диаметр.  

По теореме о секущей LQ^2=y*(y+16) из условия

P=MP+PQ+MQ=2MP+LQ+NQ+MN=2x+y+√(y(y+16))+16=72 или  

sqrt(y(y+16))+y+2x=56  

По теореме Пифагора x^2+(16+y)^2=(√(y*(y+16))+x)^2  

Система  

{√(y(y+16))+y+2x=56  

{x^2+(16+y)^2=(√(y*(y+16))+x)^2      

(√(y(y+16))+x)^2=(56-y-x)^2

приравнивая со вторым  

(56-(y+x))^2=x^2+256+32y+y^2

56^2-112(x+y)+2xy=256+32y  

x = (72(y-20)/(y-56))  

Подставляя в первое уравнение системы

√(y(y+16))+y+(144(y-20)/(y-56)) = 56  

или

(y(y+16))  - (56 - (y+(144(y-20)/(y-56))))^2 = 0

32(y+16)(y-2)(5y-64)=.

y=2, y=64/5

при y=64/5 , x<15

при y=2, x=24>15

Значит     S(MPQ) =  x(16+y)/2 = 24*18/2 = 216

Answer 2

Для решения этой задачи давайте представим ситуацию графически. Построим окружность с диаметром MN и проведем касательные к ней в точках M и P. Затем проведем вторую касательную из точки P, пересекающую прямую MN в точке Q. Теперь у нас есть треугольник MPQ.

Пусть длина отрезка MP равна x, и точка Q делит отрезок MN на две части, длины которых равны a и b, как показано на рисунке ниже:

cssCopy code
     Q      M      N
      \    /       \
       \  /         \
        P            \
        |\           |\
        | \          | \
       b|  \       x |a \
        |   \        |   \
        |    \       |    \

Так как MP является касательной, то треугольник MPQ прямоугольный, и мы можем применить теорему Пифагора для него:

$x^2 = a^2 + b^2$

Также у нас есть условие периметра треугольника:

$MP + MQ + PQ = x + (a + b) + (a + b) = 72$

Мы также знаем, что диаметр MN равен 16, следовательно, $a + b = 16$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $x^2 = a^2 + b^2$
2. $x + 2(a + b) = 72$

Мы можем решить эту систему уравнений. Сначала подставим $a + b = 16$ во второе уравнение:

$x + 2(16) = 72$

$x + 32 = 72$

$x = 40$

Теперь, чтобы найти $a$ и $b$, подставим $x = 40$ в первое уравнение:

$40^2 = a^2 + b^2$

$1600 = a^2 + b^2$

Теперь у нас есть система уравнений:

1. $a + b = 16$
2. $a^2 + b^2 = 1600$

Мы можем решить эту систему уравнений, выразив $a$ через $b$ из первого уравнения и подставив во второе:

$a = 16 - b$

$(16 - b)^2 + b^2 = 1600$

$256 - 32b + b^2 + b^2 = 1600$

$2b^2 - 32b + 1344 = 0$

Теперь решим квадратное уравнение. Поделим все на 2:

$b^2 - 16b + 672 = 0$

Теперь можно решить это уравнение с помощью квадратного корня или факторизации. Результаты будут:

$b_1 = 8$ и $b_2 = 84$

Так как $a + b = 16$, то $a = 16 - b$:

$a_1 = 16 - 8 = 8$ и $a_2 = 16 - 84 = -68$

Теперь нужно отбросить отрицательное значение $a_2$, так как длины сторон треугольника не могут быть отрицательными. Таким образом, $a = 8$ и $b = 8$.

Теперь мы можем найти площадь треугольника MPQ, используя формулу для площади прямоугольного треугольника:

$S = \frac{1}{2} \times a \times b$

$S = \frac{1}{2} \times 8 \times 8$

$S = 32$

Итак, площадь треугольника MPQ равна 32 квадратным единицам.