Question

Дакажите, что каждая сторона четырехугольника меньше суммы трех оставшихся его сторон

Answer 1

Пусть сторона четырехугольника а,в, с,д, (а,б-смежные). Проведем диагональ в четырёхугольнике, по основному неравенству треугольников к меньше (а+b) С другой стороны д меньше , чем (с+к) и тем более меньше, чем (с+а+б)

Answer 2

Допустим, у нас есть произвольный четырехугольник с четырьмя сторонами A, B, C и D. Нам нужно доказать, что каждая сторона меньше суммы трех оставшихся сторон. Для этого рассмотрим все возможные комбинации сторон.

1. A < B + C + D
2. B < A + C + D
3. C < A + B + D
4. D < A + B + C

Для доказательства используем противоречие. Предположим, что это не верно, и существует хотя бы одно значение стороны, которое больше или равно сумме трех остальных сторон.

Предположим, A ≥ B + C + D. Это означает, что сторона A больше или равна сумме сторон B, C и D. Но в четырехугольнике каждая сторона меньше длины периметра (суммы всех сторон), поэтому A < B + C + D. Это противоречие говорит нам о том, что предположение A ≥ B + C + D неверно.

Аналогичные рассуждения применимы и для других сторон B, C и D.

Таким образом, мы доказали, что каждая сторона четырехугольника меньше суммы трех оставшихся его сторон.