Question

Медиана BN треугольника ABC равна половине стороны AC. Верно ли утверждение: треугольник ABC-тупоугольный?

Answer 1

Теорема о медиане в прямоугольном треугольнике гласит: "Медиана треугольника, проведенная к некоторой стороне, равна половине этой стороны тогда и только тогда, когда этот треугольник прямоугольный". Действительно, если треугольник прямоугольный, то, проводя медиану из вершины прямого угла (пусть это будет медиана CN, С - вершина прямого угла), N - центр описанной окружности около этого прямоугольного треугольника, ибо на СN опирается прямой угол, тогда получается, что точка N равноудалена от вершин треугольника. Ну а если получается так, что в треугольнике (ABC, например) проведена медиана CN, и она равна равна половине стороны, которую делит пополам, то N - центр описанной окружности около этого треугольника, но AB - это диаметр, на него опирается угол C, а это возможно, когда угол С прямой.

Ответ: нет, не верно.

Answer 2

Для того чтобы определить, является ли треугольник ABC тупоугольным, давайте рассмотрим условия задачи. Утверждается, что медиана BN (медиана, проведенная из вершины B к стороне AC) равна половине стороны AC.

Вспомним свойство медианы в треугольнике: медиана делит сторону, из которой она проведена, пополам. То есть, если медиана BN равна половине стороны AC, то это означает, что точка пересечения медианы и стороны AC (пусть это будет точка M) делит сторону AC пополам.

Теперь давайте предположим, что треугольник ABC тупоугольный. В таком случае, у него будет один тупой угол, а два острых угла. Пусть C - тупой угол. Так как точка M делит сторону AC пополам, а угол C тупой, то угол AMC (где M - середина AC) также будет тупым. Но это противоречит условию задачи, так как треугольник ABC имеет два острых угла, а не два тупых.

Таким образом, предположение о том, что треугольник ABC тупоугольный, неверно. Вероятнее всего, треугольник ABC является остроугольным (имеет три острых угла).