Question

в треугольнике ABC известно, что АС=ВС, АН - высота. cos BAC = √21/5 (в корне только числитель). Найдите cosВАН

Answer 1

В равнобедренном треугольнике АВС высоты АН и ВК, проведенные к боковым сторонам ВС и АС соответственно, равны.  Это равенство вытекает из равенства прямоугольных треугольников  АВН и АВК по острому углу (<B=<A как углы при основании треугольника АВС) и гипотенузе (АВ - общая).

В прямоугольном треугольнике АВK

Sin(<BAC)=Sin(<BAK)=BK/AB.

Sin(<BAC) = √(1 - Cos²(<BAC)) = √(1 - 21/25) = 2/5 = 0,4.

В прямоугольном треугольнике АВH, так как  АН=ВК,

Cos(<BAH) = AH/AB = BK/AB = Sin(<BAC) = 0,4.

Ответ: Cos(<BAH) = 0,4.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов. Теорема косинусов устанавливает связь между длинами сторон треугольника и косинусами его углов.

Дано:

1. Треугольник ABC, где AC = BC.
2. Угол BAC: cos(BAC) = √21/5.

Обозначим стороны треугольника: AC = BC = a (так как AC = BC). AB = b.

Также обозначим углы: Угол BCA = α (так как угол BAC = α, в силу того, что это равнобедренный треугольник).

Теперь, применим теорему косинусов к треугольнику ABC:

cos(BAC) = (AB² + AC² - BC²) / (2 * AB * AC)

Подставим известные значения: √21/5 = (b² + a² - a²) / (2 * b * a) √21/5 = b / (2 * a)

Теперь нам нужно выразить cos(ВАН) через стороны треугольника. Для этого воспользуемся правилами определения косинуса угла:

cos(ВАН) = AC / AB

Так как AC = BC, то:

cos(ВАН) = BC / AB

Из теоремы косинусов мы знаем, что:

BC = 2 * a * (√21/5)

Таким образом, получаем:

cos(ВАН) = (2 * a * (√21/5)) / b

Теперь у нас есть выражение для cos(ВАН) через стороны треугольника.