Question

1). Существует ли треугольник со сторонами 1, 6, 7? Почему? 2). Углы треугольника относятся как 1 : 2: 6. Найти углы. 3). Внешний угол при вершине равнобедренного треугольника равен 70°. Найти углы при основании. Решить двумя способами. 4). В равнобедеренном треугольнике АВС с основанием АС равен угол В равен 64°.Найти угол АМС, где СМ – биссектриса угла С. 5). Две стороны равнобедренного треугольника равны 13 и 15. Какой величины может быть третья сторона? 6)*. Дан произвольный 4-угольник АВСК. Докажите, что АВ + ВС + СК > АК 7). Существует ли треугольник с углами 15, 126, 40 градусов? 8). В треугольнике с периметром 54 одна из сторон на 1 см меньше другой и на 4 см больше третьей. Найти стороны треугольника.

Answer 1

1. Чтобы определить, существует ли треугольник со сторонами 1, 6, 7, нужно проверить выполнение неравенства треугольника, которое гласит: сумма длин двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны.

Давайте проверим: 1 + 6 = 7, что равно длине третьей стороны (7). В этом случае неравенство треугольника выполняется, и поэтому треугольник со сторонами 1, 6, 7 существует.

2. Пусть углы треугольника равны x°, 2x° и 6x° (по условию). Сумма углов треугольника равна 180°. Таким образом, у нас есть уравнение:

x + 2x + 6x = 180

9x = 180

x = 180 / 9

x = 20

Таким образом, углы треугольника равны 20°, 40° и 120°.

3. a) Первый способ: Внешний угол при вершине равнобедренного треугольника равен сумме двух углов при основании. Пусть углы при основании равны x°, тогда внешний угол равен 70°. Таким образом, у нас есть уравнение:

x + x = 70

2x = 70

x = 35

Таким образом, углы при основании равны 35° каждый.

b) Второй способ: Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с углами при основании x° и x°, и внешним углом при вершине 70°. Мы знаем, что сумма углов внешнего и внутренних углов в треугольнике равна 180°. Таким образом:

x + x + 70 = 180

2x + 70 = 180

2x = 110

x = 55

Таким образом, углы при основании равны 55° каждый.

4. Пусть угол АМС равен y°. Так как треугольник АВС равнобедренный с основанием АС, угол А равен углу С, то есть 64°. Сумма углов в треугольнике равна 180°:

64 + 64 + y = 180

2y = 180 - 128

2y = 52

y = 26

Таким образом, угол АМС равен 26°.

5. В равнобедренном треугольнике две стороны равны 13 и 15. Пусть третья сторона имеет длину х. Так как это равнобедренный треугольник, то две равные стороны будут основанием, а третья сторона - боковой стороной (которая не равна боковой стороне равнобедренного треугольника).

Таким образом, у нас есть уравнение:

13 + 13 > х

26 > х

Также,

15 + 15 > х

30 > х

Из этих неравенств следует, что 26 > х > 30. Таким образом, третья сторона треугольника может иметь длину больше 26 и меньше 30.

6. Доказательство неравенства АВ + ВС + СК > АК для произвольного 4-угольника АВСК требует дополнительных условий, например, что С лежит между А и К. Если такое условие не предоставлено, то неравенство может не выполняться. Таким образом, без дополнительных условий данное утверждение не всегда верно.

7. Нет, такого треугольника не существует. Сумма углов в треугольнике всегда равна 180°. Однако сумма углов 15°, 126° и 40° равна 181°, что больше 180°, следовательно, такого треугольника не существует.

8. Пусть стороны треугольника равны х, х+4 и х+1. Так как периметр треугольника равен 54, у нас есть уравнение:

х + (х + 4) + (х + 1) = 54

3х + 5 = 54

3х = 54 - 5

3х = 49

х = 49 / 3

х ≈ 16.33

Таким образом, стороны треугольника примерно равны 16.33, 20.33 и 17.33 (округляя до двух десятичных знаков).